הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה רציפה במידה שווה"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
|||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע I אם לכל <math>\ | + | פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר. |
− | + | ||
==משפט== | ==משפט== | ||
שורה 6: | שורה 5: | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות | + | תהי <math>f</math> בעלת נגזרת חסומה בקטע <math>A</math> . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות <math>x_n,y_n</math> בקטע המקיימות |
− | + | :<math>|x_n-y_n|\to 0</math> | |
− | + | :<math>\Big|f(x_n)-f(y_n)\Big|\not\to 0</math> | |
− | + | לכן קיימת תת-סדרה כך ש- | |
− | + | :<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math> | |
− | + | (זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת). | |
− | + | ||
− | לכן קיימת תת סדרה כך ש | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | (זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה | + | |
נובע מכאן כי הסדרה | נובע מכאן כי הסדרה | ||
− | + | :<math>\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
אינה חסומה. | אינה חסומה. | ||
− | אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש | + | אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות <math>c_{n_k}</math> בין <math>x_{n_k},y_{n_k}</math> כך ש- |
− | + | :<math>f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה. | ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה. | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־05:16, 19 ביוני 2017
פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע אם לכל קיים כך שלכל אם אז . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי בעלת נגזרת חסומה בקטע . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות בקטע המקיימות
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות בין כך ש-
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.