הבדלים בין גרסאות בדף "פונקציה רציפה במידה שווה"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\ | + | פונקציה ממשית היא '''רציפה במידה שווה''' בקטע <math>I</math> אם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל <math>x,y\in I</math> אם <math>|x-y|<\delta</math> אז <math>\Big|f(x)-f(y)\Big|<\varepsilon</math> . תכונה זו גוררת [[פונקציה רציפה|רציפות]] של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר. |
==משפט== | ==משפט== | ||
שורה 10: | שורה 10: | ||
לכן קיימת תת-סדרה כך ש- | לכן קיימת תת-סדרה כך ש- | ||
:<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math> | :<math>\Big|f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})\Big|\to a\ne 0</math> | ||
− | (זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה | + | (זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת). |
נובע מכאן כי הסדרה | נובע מכאן כי הסדרה |
גרסה אחרונה מ־05:16, 19 ביוני 2017
פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע אם לכל קיים כך שלכל אם אז . תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך-כלל היא חזקה יותר.
משפט
פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע
הוכחה
תהי בעלת נגזרת חסומה בקטע . נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות בקטע המקיימות
לכן קיימת תת-סדרה כך ש-
(זוהי תת-הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה 0 סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).
נובע מכאן כי הסדרה
אינה חסומה.
אבל לפי משפט לגראנז', קיימות נקודות בין כך ש-
ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.