הבדלים בין גרסאות בדף "משפט המימדים"
מתוך Math-Wiki
(←משפט המימדים) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(6 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | ||
− | =משפט | + | =משפט הממדים= |
− | יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W | + | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי: |
− | + | :<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math> | |
− | :<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> | + | |
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
+ | נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> . | ||
− | + | כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> . | |
− | + | נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> . | |
− | נסמן את הבסיסים | + | נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
===B פורש את U+W=== | ===B פורש את U+W=== | ||
− | + | יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים | |
− | יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים | + | :<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math> |
− | + | ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math> | |
− | ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math> | + | |
===B בת"ל=== | ===B בת"ל=== | ||
+ | ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> : | ||
+ | :<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math> | ||
+ | נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math> | ||
− | + | ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> . | |
− | + | כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים: | |
+ | :<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math> | ||
+ | ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> . | ||
+ | כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> , | ||
− | + | אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי. | |
− | + | מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל. | |
− | מצאנו | + | ===ספירת ממדים וסיכום=== |
+ | מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: | ||
+ | :<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math> | ||
− | + | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה אחרונה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018
חזרה למשפטים בלינארית
משפט הממדים
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו תת־מרחבים של . אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל־ ב־ .
כיון ש־ , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־ ובאופן דומה לבסיס ל־ .
נסמן את הבסיסים .
נסמן את איחוד הבסיסים , ונוכיח כי הנו בסיס ל־ .
B פורש את U+W
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
ברור אם כך כי
B בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי :
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל־ יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל־ יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי הנו הטריוויאלי ולכן בת"ל.
ספירת ממדים וסיכום
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: