הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←תרגיל) |
(←מציאת הופכי וחילוק) |
||
שורה 99: | שורה 99: | ||
מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>. | מצא את ההופכי של <math>7-4i</math>. | ||
− | '''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65}i</math>. | + | '''פתרון:''' לפי המסקנה נקבל: <math>(7-4i)^{-1}=\frac{7+4i}{7^2+(-4)^2}=\frac{7+4i}{65}=\frac{7}{65}+\frac{4}{65} i</math>. |
====תרגיל==== | ====תרגיל==== |
גרסה מ־10:22, 9 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: , ואת החלק המדומה שלו להיות . שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: .
שימו לב שמספר מרוכב הוא ממשי אם ורק אם .
מספר מרוכב נקרא מדומה טהור אם . למשל .
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות . לדוג': .
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
תרגיל
הוכיחו שלכל מספר מרוכב מתקיים:
1. .
2. .
3.
פתרון: נסמן ונחשב:
.
.
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: .
תרגיל
מצא את ההופכי של .
פתרון: לפי המסקנה נקבל: .
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה וציין מהם . הביטוי הינו:
פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה .
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי וכעת רשמנו
לפיכך נקבל:
.
.
.
.