הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 2"
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==הצגה פולרית של מספרים מרוכבים=...") |
(←פתרן) |
||
שורה 45: | שורה 45: | ||
פתרו: <math>z^5=-2</math>. | פתרו: <math>z^5=-2</math>. | ||
− | ===== | + | =====פתרון===== |
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>... | ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: <math>-2=2cis\pi</math>. עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: <math>z=\sqrt[5]{2}cis\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},k=0,\dots 4</math>... | ||
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>ש=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>. כך נמצא את <math>b,c</math>. | ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום <math>x^5+2</math>. ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה <math>(x-x_0)</math>. לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (<math>ש=0</math>) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה <math>\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4c}}{2}</math>. כך נמצא את <math>b,c</math>. |
גרסה מ־12:07, 21 באוקטובר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
הצגה פולרית של מספרים מרוכבים
נתבונן במספר מרוכב , נסמן ב את הזוית עם הציר הממשי נגד השעון וב את הנורמה, אז נקבל: . ולכן נקבל , שמסומן בקצרה: .
מעבר בין הצגות
מקרטזית לפולרית: בהינתן , ניקח עד כדי הוספת לפי מיקום המספר על הצירים.
לדוגמא: עבור המספר נקבל .
מפולרית לקרטזית: אם אז .
תרגיל
חשבו:
1. .
2. .
פתרון
1. הנורמה מוכפלת והזויות מתחברות.
2. וברים לקרטזית ושם מחברים.
נוסחת דה-מואבר
מסקנה מכפל בהצגה פולרית נקבל: .
לדוגמא: .
כך נוכל למצוא שורשים של מספרים מרוכבים. באופן כללי: אם אז .
תרגיל
חשב את
פתרון
נקבל . נשים לב שאם ניקח נקבל , ולכן זה בדיוק אותו מספר כמו עבור .
שורשים של פולינם
תרגיל
פתרו: .
פתרון
ראשית נרשום את המספר מימין בהצגה פולרית: . עכשיו נשתמש בדה-מואבר: אנחנו מחפשים את כל המספרים המקיימים את המשוואה, ולכן מתקיים: ...
ראיתם בהרצאה שלכל פולינום, אם יש לו שורש מרוכב אז גם הצמוד שלו הוא שורש. בנוסף, המשפט היסודי של האלגברה אומר שכל פולינום מעל הממשיים מתפרק לגורמים ממעלה 1 או 2. נוכל להראות זאת בקצרה פה עבור הפולינום . ניקח מהשורשים את הממשיים (חייב להיות לפחת אחד, כי 5 מספר אי-זוגי), ואותם נשים בגורם מהצורה . לכל זוג שורשים מרוכבים (שורש והצמוד שלו), נמצא את הגורם ממעלה 2 המתאים לו ע"י בחירת המשוואה הריבועית המתוקנת (עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): ש=0 ) ששורשיה מתקבלים מהנוסחה . כך נמצא את .