הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"
מתוך Math-Wiki
(←טריגו) |
(←טריגו) |
||
שורה 29: | שורה 29: | ||
הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. | הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות <math>\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math>. | ||
− | לדוגמא, נחשב: | + | לדוגמא, נחשב: |
− | <math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math> | + | <math>\sin(\frac{\pi}{4}+i)=\frac{e^{i(\frac{\pi}{4}+i)}-e^{-i(\frac{\pi}{4}+i)}}{2i}=\frac{e^{-1+\frac{\pi}{4}i}-e^{1-\frac{\pi}{4}i}}{2i}=</math> |
+ | |||
+ | <math>=\frac{e^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)-e(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)}{2i}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}-e)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{1}{e}+e)i}{2i}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}+e)-\frac{\sqrt{2}}{4}(\frac{1}{e}-e)i</math> |
גרסה מ־10:04, 11 בדצמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
אקסופנט
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה גזירה ומקיימת , וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: .
לדוגמא, נחשב :
.
תרגיל
כידוע, בממשיים מתקיים . מה לגבי המרוכבים? האם קיים כך ש הוא ממשי וקטן מאפס?
פתרון
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש כך ש .
ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש , ולכן . כעת נקבל , וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה , ולכן ניקח .
מה שקיבלנו עד כה זה , ולכן אם ניקח נקבל כדרוש.
באופן כללי: יהי ממשי. נבחר ונקבל .
תרגיל
הוכיחו שמתקיים:
פתרון
לפי הגדרה: .
טריגו
הגדרתם בהרצאה את הפונקציות הטריגונומטריות .
לדוגמא, נחשב: