גרסה מ־08:05, 19 בפברואר 2019

תוכן עניינים

מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ שהפתרון הכללי שלה הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$ .
הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$ , הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
  - $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
תשובה: כן.
הוכחה:
- נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
- כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$ .

@@ שורה 11: / שורה 11: @@
 **פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
 *אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.
 *מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
@@ שורה 20: / שורה 21: @@
 **ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
 ***<math>a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)</math>
 *האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי <math>a\sin(kt)+b\cos(kt)</math> ניתן להציג כגל יחיד?