הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ההגדרה"
מתוך Math-Wiki
(←משפט ההגדרה) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(5 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | חזרה ל[[משפטים/לינארית|משפטים בלינארית]] | ||
+ | |||
=משפט ההגדרה= | =משפט ההגדרה= | ||
− | יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{ | + | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>. |
− | + | יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים). | |
− | <math> | + | אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: |
+ | :<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math> | ||
− | <math> | + | =הוכחה= |
+ | יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math> | ||
+ | :<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math> | ||
+ | לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי | ||
+ | :<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math> | ||
+ | קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>). | ||
− | :<math>\ | + | נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים: |
+ | :<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math> | ||
+ | ולכן <math>S=T</math>. | ||
− | + | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | |
− | + | ||
− | + |
גרסה אחרונה מ־18:16, 27 בפברואר 2021
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי מ"ו נוצר סופית, ויהי בסיס ל־.
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
הוכחה
יהי . אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה על ידי
קל מאד להראות כי המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר ).
נותר להוכיח כי יחידה. אמנם, אם העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר ), מתקיים:
ולכן .