הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4"
מתוך Math-Wiki
(←פונקציות טריגונומטריות הופכיות) |
(←מספרים מרוכבים) |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 42: | שורה 42: | ||
==מספרים מרוכבים== | ==מספרים מרוכבים== | ||
− | + | ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית [[אלגברה לינארית - ארז שיינר#שדה המרוכבים|בקישור הבא]]. | |
− | |||
− | + | '''תרגיל''' חשבו את <math>z\cdot \overline{z}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | '''תרגיל''' | + | |
'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math> | '''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math> | ||
שורה 79: | שורה 55: | ||
− | '''תרגיל''' | + | '''תרגיל''' הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>. |
'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> | '''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math> | ||
שורה 89: | שורה 65: | ||
− | '''תרגיל''' | + | '''תרגיל''' חשבו את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math> |
שורה 108: | שורה 84: | ||
− | '''תרגיל''': | + | '''תרגיל''': הוכיחו כי <math>|z|\geq |Re(z)|</math> |
− | '''תרגיל''': | + | '''תרגיל''': הוכיחו את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math> |
− | + | ||
==המישור המרוכב== | ==המישור המרוכב== | ||
שורה 129: | שורה 104: | ||
::<math>r=|z|</math> | ::<math>r=|z|</math> | ||
− | + | ::אם <math>a>0</math> אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math> | |
− | ::<math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math> | + | ::אם <math>a<0</math>אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi</math> |
+ | ::אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | ::אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\varphi=-\frac{\pi}{2}</math> | ||
גרסה אחרונה מ־12:04, 11 באוגוסט 2022
פונקציות טריגונומטריות הופכיות
ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.
תרגיל: הוכח כי
תרגילים
מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:
מספרים מרוכבים
ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית בקישור הבא.
תרגיל חשבו את
פתרון
- הערה: נסמן
תרגיל הוכיחו שלכל מספר מרוכב קיים מספר מרוכב כך ש .
פתרון:
- הערה: באופן כללי נסמן
תרגיל חשבו את הביטוי
הגדרה: עבור מספר מרוכב
- החלק הממשי
- החלק המדומה
לדוגמא:
תרגיל: הוכיחו כי
תרגיל: הוכיחו את אי-שיוויון המשולש
המישור המרוכב
כל מספר מרוכב מתאים לנקודה במישור המרוכב.
ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.
מתקיים:
- אם אזי
- אם אזי
- אם וגם אזי
- אם וגם אזי
הצורה נקראת הצורה הפולארית של המספר המרוכב, ואילו היא הצורה הקרטזית.