הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.2.11"
(יצירת דף עם התוכן "לאחר שהוכחנו את משפט 2 בהרצאה הקודמת נקבל: '''מסקנה:''' נקח f כנ"ל ונניח ש-P ו-Q הן שתי חלוקות כלש...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | + | {{הערה|את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11#משפט 2|חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת]] ולא בדף זה.}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
===משפט 3=== | ===משפט 3=== | ||
− | תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\ | + | תהי f כנ"ל. אזי <math>\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וכן <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. | + | הטענה הראשונה אומרת שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\lambda(P)<\delta</math> אז <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\varepsilon</math>. ברור כי אכן מתקיים <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx</math>. כעת יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math> ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\frac\varepsilon{2r\Omega}</math>, ונגדיר <math>R=P\cup Q</math>. כיוון ש-R עידון של Q, <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,R)\le\overline S(f,Q)</math> ונובע ש-<math>0\le\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx\le\overline S(f,Q)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2</math>. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-<math>\overline S(f,P)-\overline S(f,R)\le r\lambda(P)\Omega<r\Omega\frac\varepsilon{2r\Omega}=\frac\varepsilon2</math>. לכן נוכל להסיק |
<math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. | <math>0\le\overline S(f,P)-\overline{\int}_a^b f(x)dx=\overline S(f,P)-\overline S(f,R)+\overline S(f,R)-\overline{\int}_a^b f(x)dx<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon</math>. | ||
שורה 20: | שורה 11: | ||
===משפט 4=== | ===משפט 4=== | ||
− | תהי f כנ"ל. אזי f | + | תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א <math>\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx</math>. לכן, ממשפט 3, <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\overline{\int}_a^b f(x)dx=\underline\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. ע"פ אריתמטיקה של גבולות <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> וכן <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)=\int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math>. | ||
שורה 31: | שורה 22: | ||
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. | אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>. לכן עבור <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>\delta>0</math> כך שלכל P המקיימת <math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. | ||
− | לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline\ | + | לצד השני, נניח שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה P כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> מתקיים <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>. כידוע, לכל חלוקה P מתקיים <math>\underline S(f,P)\le\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f\le\overline S(f,P)</math>. לפי הנתון נקבל <math>0\le\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f<\varepsilon</math>. זה נכון לכל <math>\varepsilon>0</math> ולכן <math>\overline{\int}_a^b f-\underline\int_a^b f=0</math>, כלומר f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
===משפט 6=== | ===משפט 6=== | ||
− | תהי <math>f(x)</math> | + | תהי <math>f(x)</math> רציפה וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | + | כעת יהי <math>\varepsilon>0</math>. כיוון ש-<math>f(x)</math> רציפה בקטע סגור <math>[a,b]</math> היא רציפה במ"ש, לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>x_1,x_2\in[a,b]</math> ו-<math>|x_1-x_2|<\delta</math> אז <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. לפיכך <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k</math> כאשר <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> ו-<math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב-<math>[a,b]</math> חסומה שם, לכל k קיימים <math>y_k,z_k\in[x_{k-1},x_k]</math> כך ש-<math>f(y_k)=M_k</math> ו-<math>f(z_k)=m_k</math>. כעת <math>|y_k-z_k|\le x_k-x_{k-1}=\Delta x_k\le\lambda(P)<\delta</math>, לכן <math>M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> ולבסוף | |
− | לכן <math>M_k-m_k=|f(y_k)-f(z_k)|<\frac\varepsilon{2(b-a)}</math> | + | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline(f,P)&=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k\\&<\sum_{k=1}^n\frac\varepsilon{2(b-a)}\Delta x_k\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(x_1-\underbrace{x_0}_a+x_2-x_1+\dots+\underbrace{x_n}_b-x_{n-1})\\&=\frac\varepsilon{2(b-a)}(b-a)\\&=\frac\varepsilon2\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} |
− | + | ||
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} | ||
שורה 49: | שורה 39: | ||
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה | <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> ונבנה | ||
− | <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math> | + | <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n(M_k-m_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^n(f(x_k)-f(x_{k-1})\Delta x_k</math>. |
− | כעת, אם נבחר | + | כעת, אם נבחר לכל k <math>\Delta x_k=\frac{b-a}n</math> (ובפרט הם שווים) נקבל |
− | נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P) קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> | + | {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_k)-f(x_{k-1}\Big)\\&=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\Big(f(x_1)-\underbrace{f(x_0)}_{=f(a)}+f(x_2)-f(x_1)+\dots+\underbrace{f(x_n)}_{=f(b)}+f(x_{n-1})\Big)\\&=\frac{b-a}n\Big(f(b)-f(a)\Big)\end{align}</math>}} |
+ | נשאיף <math>n\to\infty</math> ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)</math> קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. {{משל}} |
גרסה מ־13:20, 23 בפברואר 2011
את משפט 2 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן המשכנו אותו ב-22.2.11. עם זאת, חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף זה.
תוכן עניינים
משפט 3
תהי f כנ"ל. אזי וכן .
הוכחה
הטענה הראשונה אומרת שלכל קיים כך שאם אז . ברור כי אכן מתקיים . כעת יהי נתון. לפי הגדרת האינפימום קיימת חלוקה מסויימת Q של כך ש- ונניח של-Q יש r נקודות חלוקה. כעת נניח ש-P חלוקה כלשהי של כך ש-, ונגדיר . כיוון ש-R עידון של Q, ונובע ש-. אבל R התקבלה מ-P ע"י הוספה של לכל היותר r נקודות, לכן ע"פ משפט 2 ידוע ש-. לכן נוכל להסיק
.
ההוכחה לאינטגרל התחתון דומה.
משפט 4
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם ואם כן .
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית, ז"א . לכן, ממשפט 3, . ע"פ אריתמטיקה של גבולות וכן .
עכשיו נניח ש-. אם כן אז ממשפט דרבו . ולכן f אינטגרבילית.
משפט 5
תהי f כנ"ל. אזי f אינטגרבילית ב- אם"ם לכל קיימת חלוקה P של כך ש-.
הוכחה
אם נתון ש-f אינטגרבילית אז ממשפט 4 . לכן עבור קיים כך שלכל P המקיימת מתקיים .
לצד השני, נניח שלכל קיימת חלוקה P כך ש- מתקיים . כידוע, לכל חלוקה P מתקיים . לפי הנתון נקבל . זה נכון לכל ולכן , כלומר f אינטגרבילית ב-.
משפט 6
תהי רציפה וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
כעת יהי . כיוון ש- רציפה בקטע סגור היא רציפה במ"ש, לכן קיים כך שאם ו- אז . כעת תהי P חלוקה כלשהי של כך ש-. לפיכך כאשר ו-. אבל מכיוון ש-f רציפה וע"פ המשפט השני של וירשטרס כל f רציפה ב- חסומה שם, לכל k קיימים כך ש- ו-. כעת , לכן ולבסוף
ונובע ממשפט 5 (או 4) ש-f אינטגרבילית ב-.
משפט 7
תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע . אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
נוכיח לפונקציה עולה. לכל מתקיים ולכן f חסומה. כעת ניקח חלוקה P כלשהי של :
ונבנה .
כעת, אם נבחר לכל k (ובפרט הם שווים) נקבל
נשאיף ואגף ימין שואף ל-0. מכאן ש- קטן כרצוננו, וקיימנו את התנאי של משפט 5. לכן f אינטגרבילית ב-.