הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/13.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= ==דוגמאות נוספות== # <math>\int\frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2(x-4)}\mathrm dx</math>: נמצא A,B,C ...") |
מ |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 8: | שורה 8: | ||
===דוגמאות פרטית=== | ===דוגמאות פרטית=== | ||
# {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align}</math>}}{{משל}} | # {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\sin^2(x)\cos^3(x)-\sin(x)\cos^5(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\cos^2(x)-\sin(x)\cos^4(x)\right)\cos(x)\mathrm dx\\&=\int\left(\sin^2(x)\left(1-\sin^2(x)\right)-\sin(x)\left(1-\sin^2(x)\right)^2\right)\cos(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(y^2\left(1-y^2\right)-y\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\int\left(y^2-y^4-\frac{2y}2\left(1-y^2\right)^2\right)\mathrm dy\\&=\frac{y^3}3-\frac{y^5}5+\frac12\frac{\left(1-y^2\right)^3}3+c\\&=\frac{\sin^3(x)}3-\frac{\sin^5(x)}5+\frac{\cos^6(x)}6+c\end{align}</math>}}{{משל}} | ||
− | # {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx</math>. לכן: {{left|<math>\begin{align}\int&=\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align}</math>}}{{משל}} | + | # {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(x)\sin^3(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\sin^2(x)}{2\cos(x)+\sin^2(x)+3}\sin(x)\mathrm dx\\&=\int\frac{3\cos(x)\left(1-\cos^2(x)\right)}{2\cos(x)+\left(1-\cos^2(x)\right)+3}\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\cos(x)\implies\mathrm dy=-\sin(x)\mathrm dx</math>. לכן: {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3y\left(1-y^2\right)}{2y+4-y^2}(-\mathrm dy)\\&=-\int\frac{3y^3-3y}{y^2-2y-4}\\&=\int\left(3y+6+\frac{21y+24}{y^2-2y-4}\right)\mathrm dy\\&=\frac32y^2+6y+\int\frac{A\mathrm dy}{y-\frac{2+\sqrt{4+16}}2}+\int\frac{B\mathrm dy}{y-\frac{2-\sqrt{4+16}}2}+c\\&=\frac32y^2+6y+\frac{21+9\sqrt5}2\ln\left|y-1-\sqrt5\right|+\frac{21-9\sqrt5}2\ln\left|y-1+\sqrt5\right|+c\\&=\dots\end{align}</math>}}{{משל}} |
---- | ---- | ||
שורה 21: | שורה 21: | ||
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
− | + | חשבו <math>\int\frac{\mathrm dx}{5-3\cos(x)}</math>. | |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}} | נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{5-3\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\frac{2\mathrm dt}{5+5t^2-3\left(1-t^2\right)}\\&=\int\frac{\mathrm dt}{1+4t^2}\\&=\frac12\arctan(2t)+c\\&=\frac12\arctan\left(2\tan\left(\frac x2\right)\right)+c\end{align}</math>}} | ||
{{משל}} | {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־13:46, 11 ביולי 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמאות נוספות
- : נמצא A,B,C עבורם האינטגרנד שווה ל-. נשווה מונים: ולכן . לבסוף נקבל
- : נשים לב שמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, לכן לא ניתן להשתמש בשברים חלקיים בשלב זה. נחלק פולנומים: ז"א
- : נפרק את המכנה ונקבל . לכן האינטגרנד הוא עבור A,B,...,T כלשהם. עתה נותר "רק" למצוא אותם ולחשב את האינטגרל.
אינטגרל של פונקציה רציונלית של sin ו-cos
נתונה פונקציה רציונלית R של שני משתנים, ואנו מעוניינים לחשב את . למשל, אם אז אנו רוצים למצוא אינטגרל ל-.
דוגמאות פרטית
- נציב ואז
- נציב . לכן:
כללים: באינטגרל :
- אם אז תועיל ההצבה .
- אם נציב .
- אם נציב .
- בכל מקרה תועיל ההצבה , שתהפוך את האינטגרנד לפונקציה רציונלית של , והאינטגרל שלה פתיר בעזרת שברים חלקיים. במקרה כזה:
- ולכן .
- , לפיכך ונקבל .
- .
דוגמה
חשבו .
פתרון
נציב ולכן