הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}) |
|||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 6: | שורה 6: | ||
# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. | # <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. | ||
− | # <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2 | + | # <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}} |
− | # <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}} | + | # <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}} |
=האינטגרל הלא מסויים= | =האינטגרל הלא מסויים= | ||
שורה 18: | שורה 18: | ||
{{משל}} | {{משל}} | ||
− | '''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת | + | '''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>. |
==דוגמה 2== | ==דוגמה 2== |
גרסה אחרונה מ־11:28, 14 במאי 2011
תוכן עניינים
שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים
המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
דוגמה 1
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
-
פתרון: נשים לב להגדרת לפיה האינטגרל שווה ל-. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - ועבור II - ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה, למשל, היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז. - . פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן . קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל.
- , כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן . זוהי אליפסה שמרכזה ב-. נסמן ולפי נוסחה לשטח אליפסה () נקבל . האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר .
האינטגרל הלא מסויים
המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, ולכן
דוגמה 1 (שיטת פירוק)
חשב .
פתרון
זה שווה ל-
באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: .
דוגמה 2
חשב .
פתרון
דרך א: מתקיים . זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:
ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
שיטת ההצבה:
דוגמה 3
חשב .
פתרון
נציב ולכן . אזי האינטגרל הוא: .
אינטגרציה בחלקים: .
דוגמה 4
חשב את האינטגרלים הבאים:
-
פתרון
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר . לכן האינטגרל שווה ל-.
מסקנה: לכל פולינום ממעלה כפול פונקציה g שמקיימת (עבור כלשהו) נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון -
פתרון
נסמן ואז . -
פתרון
ואז . ולפי אינטגרציה שנייה: ולכן .
מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.
דוגמה 5
.
פתרון
בשיטת ההצבה, והאינטגרל הנ"ל שווה ל-.