הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11"
מ (המשך יבוא) |
(←פתרון) |
||
(6 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=שימושי האינטגרל= | =שימושי האינטגרל= | ||
==דוגמה 1== | ==דוגמה 1== | ||
− | חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. | + | חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>. |
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>. | ||
שורה 19: | שורה 19: | ||
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a. | מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה | + | <div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div> |
+ | <div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div> | ||
+ | נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. | ||
+ | מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>. | ||
+ | |||
+ | ==נפח גוף סיבוב== | ||
+ | נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה <math>V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx</math>. | ||
+ | ===דוגמה 4=== | ||
+ | חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה <math>y^2=8x</math> סביב ציר ה-x, עד לישר <math>x=2</math>. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | <math>y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}</math>. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של <math>\sqrt{8x}</math> בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, <math>V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi</math>. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 5=== | ||
+ | מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל <math>x^2+y^2=r^2</math> ולכן בחצי המישור העליון <math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. הנפח הוא <math>\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3</math>. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 6=== | ||
+ | מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים <math>f(x)=\frac12+x^2</math> ו-<math>g(x)=x</math> בקטע <math>[0,2]</math>. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: <math>\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R</math>, כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא <math>\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi</math>. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |||
+ | נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע <math>[a,b]</math> נתון ע"י הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx</math>. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 7=== | ||
+ | חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י <math>y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4</math> סביב ציר ה-y. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | לפי הנוסחה <math>V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi</math>. | ||
+ | |||
+ | ===דוגמה 8=== | ||
+ | חשב את נפח התחום שמתחת ל-<math>y=x^2</math> בקטע <math>[0,2]</math> המסתובב סביב ציר ה-x. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | <math>\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi</math>. |
גרסה אחרונה מ־19:30, 15 במאי 2011
תוכן עניינים
שימושי האינטגרל
דוגמה 1
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה והישר .
פתרון
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: .
- דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין וכן . קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא .
- דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח בין ל-4 ושני שטחים שווים בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא
דוגמה 2
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות .
פתרון
נקודות חיתוך:
- ברור כי ל- אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא .
דוגמה 3
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
פתרון
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל ולכן שטח חתך כזה הוא . נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא .
נפח גוף סיבוב
נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה .
דוגמה 4
חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה סביב ציר ה-x, עד לישר .
פתרון
. מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, .
דוגמה 5
מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.
פתרון
ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל ולכן בחצי המישור העליון . הנפח הוא .
דוגמה 6
מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים ו- בקטע .
פתרון
נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: , כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא .
נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע נתון ע"י הנוסחה .
דוגמה 7
חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י סביב ציר ה-y.
פתרון
לפי הנוסחה .
דוגמה 8
חשב את נפח התחום שמתחת ל- בקטע המסתובב סביב ציר ה-x.
פתרון
.