גרסה אחרונה מ־19:30, 15 במאי 2011

תוכן עניינים

1 שימושי האינטגרל

שימושי האינטגרל

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה $y^2=4x$ והישר $y=2x-4$ .

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: $(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4$ .

דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב- $90^\circ$ ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין $y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4$ וכן $y=2x-4\implies x=\frac12y+2$ . קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם $-2,4$ (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא $\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9$ .
דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח $S_1$ בין $x=1$ ל-4 ושני שטחים שווים $S_2=S_3$ בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא $S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9$

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות $y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1$ .

פתרון

נקודות חיתוך:

$y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0$
$y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)$
ברור כי ל- $y=e^x,\ y=0$ אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא $\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e$ .

דוגמה 3

מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.

פתרון

נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה $[0,y]$ החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה. מדמיון משושלים נקבל $\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a$ ולכן שטח חתך כזה הוא $S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2$ . נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא $\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3$ .

נפח גוף סיבוב

נפח גוף סיבוב סביב ציר ה-x מתקבל ע"י הנוסחה $V=\int\limits_a^b\pi(f(x))^2\mathrm dx$ .

דוגמה 4

חשבו את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הפרבולה $y^2=8x$ סביב ציר ה-x, עד לישר $x=2$ .

פתרון

$y^2=8x\implies y=\pm\sqrt{8x}$ . מכיוון שעם סיבוב הרביע הראשון מתקבל הרביע הרביעי מספיק לחשב את נפח גוף הסיבוב של $\sqrt{8x}$ בין 0 ל-2. לכן, לפי הנוסחה, $V=\int\limits_0^2\pi\left(\sqrt{8x}\right)^2\mathrm dx=8\pi\left[\frac{x^2}2\right]_{x=0}^2=16\pi$ .

דוגמה 5

מצאו נוחה לחישוב נפח של כדור שרדיוסו r.

פתרון

ע"מ לחשב את הנוסחה נוכל לסובב את חציו העליון של עיגול. לפי נוסחת מעגל $x^2+y^2=r^2$ ולכן בחצי המישור העליון $y=\sqrt{r^2-x^2}$ . הנפח הוא $\int\limits_{-r}^r\pi\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\mathrm dx=\pi\int\limits_{-r}^r\left(r^2-x^2\right)\mathrm dx=\frac43\pi r^3$ .

דוגמה 6

מצאו את נפח הגוף שנוצר כאשר מסובבים את התחום הכלוא בין הגרפים $f(x)=\frac12+x^2$ ו- $g(x)=x$ בקטע $[0,2]$ .

פתרון

נמצא את שיעורי ה-x של נקודות החיתוך: $\frac12+x^2=x\implies x\not\in\mathbb R$ , כלומר אין נקודות חיתוך. לפיכך הנפח הוא $\int\limits_0^2\pi\left((f(x))^2-(g(x))^2\right)\mathrm dx=\pi\int\limits_0^2\left(\left(x^2+\frac12\right)^2-x^2\right)\mathrm dx=\dots=\frac{69}{10}\pi$ .

נפח גוף סיבוב המסתובב סביב ציר ה-y במקום ציר ה-x בקטע $[a,b]$ נתון ע"י הנוסחה $V=2\pi\int\limits_a^b xf(x)\mathrm dx$ .

דוגמה 7

חשבו הנפח הנוצר מסיבוב התחום הנקבע ע"י $y=\sqrt x,\ x=1,\ x=4$ סביב ציר ה-y.

פתרון

לפי הנוסחה $V=2\pi\int\limits_1^4\sqrt x^3\mathrm dx=2\pi\left[\frac{x^{5/2}}{5/2}\right]_{x=1}^4=\frac{124}5\pi$ .

דוגמה 8

חשב את נפח התחום שמתחת ל- $y=x^2$ בקטע $[0,2]$ המסתובב סביב ציר ה-x.

פתרון

$\int\limits_0^2\pi x^4\mathrm dx=\frac{32}5\pi$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =שימושי האינטגרל=
 ==דוגמה 1==
-חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
+חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
 ===פתרון===
 נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
@@ שורה 22: / שורה 22: @@
 <div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png|200px]]</div>
 נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
-מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר השמתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.
+מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.
 ==נפח גוף סיבוב==

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11"

גרסה אחרונה מ־19:30, 15 במאי 2011

תוכן עניינים

שימושי האינטגרל

דוגמה 1

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3

פתרון

נפח גוף סיבוב

דוגמה 4

פתרון

דוגמה 5

פתרון

דוגמה 6

פתרון

דוגמה 7

פתרון

דוגמה 8

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים