הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/10.4.11"
(יצירת דף עם התוכן "=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}= הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע א...") |
(←פתרון) |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}= | =האינטגרל המסויים {{הערה|(המשך)}}= | ||
− | הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים <math>\frac\mathrm d{\mathrm | + | הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב-<math>(a,b)</math> ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_c^x f\mathrm{d}t=f(x)</math>. |
==דוגמה 1== | ==דוגמה 1== | ||
גזור את הפונקציות הבאות: | גזור את הפונקציות הבאות: | ||
שורה 11: | שורה 11: | ||
<math>\frac{\ln(t)}{t^2}</math> בוודאי גזירה בתחום. נסמן <math>y=x^3</math> ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}</math>. {{משל}} | <math>\frac{\ln(t)}{t^2}</math> בוודאי גזירה בתחום. נסמן <math>y=x^3</math> ולכן <math>\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dI(x)}{\mathrm dy}\cdot\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\ln(y)}{y^2}\cdot3x^2=\frac{\ln(x^3)}{x^6}\cdot3x^2=9\frac{\ln(x)}{x^4}</math>. {{משל}} | ||
</li></ol> | </li></ol> | ||
− | ''הערה:'' במקרה של <math>\frac\mathrm d{\mathrm | + | ''הערה:'' במקרה של <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int\limits_{g(x)}^{h(x)} f\mathrm{d}t</math> נפרק את האינטגרל לסכום <math>\int\limits_c^{h(x)} f\mathrm{d}t+\int\limits_{g(x)}^c f\mathrm{d}t</math>. |
=אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I= | =אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I= | ||
שורה 54: | שורה 54: | ||
קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math>. | קבעו התכנסות של <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math>. | ||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | ידוע כי <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס. הגבול <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\ \frac{\arctan(x)}{x^2}\ }\ | + | ידוע כי <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> מתכנס. הגבול <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\;\frac{\arctan(x)}{x^2}\;}{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to\infty}\arctan(x)=\frac\pi2<\infty</math> קיים ולכן <math>\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x^2}\mathrm dx</math> מתכנס. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־14:18, 14 במאי 2015
תוכן עניינים
האינטגרל המסויים (המשך)
הוכחנו בהרצאה שאם f גזירה ב- ו-c נקודה כלשהי בקטע אז מתקיים .
דוגמה 1
גזור את הפונקציות הבאות:
- :
פתרון
ברור כי פונקציה גזירה, ולכן .
- :
פתרון
בוודאי גזירה בתחום. נסמן ולכן .
הערה: במקרה של נפרק את האינטגרל לסכום .
אינטגרלים לא אמיתיים מסוג I
לפחות אחד מגבולות האינטגרציה אינסופי. נסמן ובאופן דומה וכן עבור c כך ששני האינטגרלים יהיו קיימים.
כלל ידוע: מתכנס אם"ם .
דוגמה 2
חשבו את , אם קיים.
פתרון
, כלומר מתבדר.
דוגמה 3
חשבו את .
פתרון
נציב ולכן . מכאן נובע ש-דוגמה 4
חשבו .
פתרון
.
מבחני התכנסות
מבחן ההשוואה
אזי אם מתכנס אז מתכנס.
דוגמה 5
קבעו התכנסות של .
פתרון
נבדוק מתי : . לכן נרשום . האינטגרל I בוודאי מתכנס, כי גבולות האינטגרציה סופיים והפונקציה רציפה בתחום. נותר להראות ש-II מתכנס: כפי שכבר הראנו, בתחום הזה ולכן מספיק לבדוק התכנסות האינטגרל , שכידוע מתכנס.
דוגמה 6
קבעו התכנסות האינטגרל (האמיתי) .
פתרון
ברור שפרט לנקודה 0 האינטגרנד מוגדר בקטע. נסתכל על הגבול כאשר : . לכן נגדיר . פונקציה זו רציפה בקטע הסגור ולכן ברור שהאינטגרל שלה בקטע מתכנס. מכיוון שהיא שונה מהאינטגרנד המקורי במספר סופי של נקודות גם מתכנס.
דוגמה 7
קבעו התכנסות של .
פתרון
בקטע הנ"ל arctan היא פונקציה עולה. לכן אם נכוון להתבדרות נשים לב כי ולכן . אבל מתבדר ולכן כך גם האינטגרל הנתון.
מבחן ההשוואה הגבולי
נתון כאשר f,g פונקציות אי-שליליות.
- אם אז ו- מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
- אם אז התכנסות גוררת התכנסות .
- אם אז התכנסות גוררת התכנסות .
דוגמה 8
קבעו התכנסות של .
פתרון
ידוע כי מתכנס. הגבול קיים ולכן מתכנס.