הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11"
(יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל= ==דוגמה 1== ראינו בשיעור שעבר כי <math>\int\limits_0^1\frac{\cos\left(\frac1x\right)}x\mathrm dx</math> מתכנס לפי ד...") |
(←דוגמה 1) |
||
(3 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | {{הערה|את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.}} | ||
=אינטגרל= | =אינטגרל= | ||
==דוגמה 1== | ==דוגמה 1== | ||
− | + | קבעו האם | |
+ | <math>\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dx}\sqrt{x+x^2}</math> מתכנס או מתבדר. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | + | נחלק לשני אינטגרלים <math>\int\limits_0^\infty=\int\limits_0^1+\int\limits_1^\infty</math>. עבור <math>x\in(0,1]</math> מתקיים <math>x+x^2\ge x</math>, לכן <math>\frac1\sqrt{x+x^2}\le\frac1\sqrt x</math>. ברור ש-<math>\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x</math> מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, <math>\int\limits_0^1</math> מתכנס. | |
− | + | עבור <math>x\in[1,\infty)</math> מתקיים <math>\frac1\sqrt{2x^2}\le\frac1\sqrt{x+x^2}</math>, ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתבדר. {{משל}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | עבור <math>x\in[1,\infty)</math> <math>\frac1\sqrt{ | + | |
{{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}} | {{כותרת נושא|התכנסות של פונקציות|נושא שני}} | ||
− | לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול. | + | לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות <math>f_n(x)=\frac1{x^n}</math>. קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-<math>\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty=\left\{\frac1{x^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. לדגמה, נבחר <math>x>1</math>. קל לראות ש-<math>\lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}0</math>, ולכן <math>f(x)=0</math> היא פונקצית הגבול. |
− | + | ||
==הגדרות== | ==הגדרות== | ||
שורה 28: | שורה 24: | ||
* אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>. | * אם <math>x=1</math> אז <math>f(1)=\lim_{n\to\infty}1^n=1</math>. | ||
* אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>. | * אם <math>x\in[0,1)</math> אז <math>f(x)=0</math>. | ||
+ | {{משל}} | ||
==דוגמה 2== | ==דוגמה 2== | ||
בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>. | בדקו התכנסות של <math>f_n(x)=\frac1{1+n^2x^2}</math> ב-<math>\mathbb R</math>. | ||
שורה 34: | שורה 31: | ||
* <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math> | * <math>x=0\implies f(x)=\frac1{1+0}=1</math> | ||
* <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math> | * <math>x\ne0\implies f(x)=\frac1{1+\infty}=0</math> | ||
+ | {{משל}} | ||
+ | ---- | ||
שורה 42: | שורה 41: | ||
נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | נתונה <math>f_n(x)=\left(1+\frac1n\right)x^2</math>. קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math> | + | במקרה שלנו קל לראות ש-<math>f_n(x)</math> מתכנסת נקודתית ל-<math>x^2</math> כי <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)x^2=\lim_{n\to\infty}x^2+\lim_{n\to\infty}\frac{x^2}{n^2}=x^2+0=x^2</math>. מסקנה: <math>f(x)=x^2</math>. |
− | + | ||
− | <math>f(x)=x^2</math> | + | |
− | + | ||
− | + | כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon</math>. נציב: <math>|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(1+\frac1n\right)x^2-x^2\right|=\frac{x^2}n\le\frac1n<\varepsilon</math>. לכן מספיק לבחור <math>n_0\ge\frac1\varepsilon</math> ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש. {{משל}} | |
==דוגמה 4== | ==דוגמה 4== | ||
הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | הראה כי <math>f_n(x)=x^n</math> לא מתכנסת במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. | ||
===פתרון=== | ===פתרון=== | ||
− | מצאנו בדוגמה | + | מצאנו בדוגמה 1 ש-<math>f(x)=0</math>. נשים לב כי <math>\forall n\in\mathbb N:\ \lim_{x\to1}x^n=1</math> ז"א <math>\forall n\in\mathbb N:\ \exists x_0\in(0,1):\ \frac12<x_0^n<\frac32</math> (לפי הגדרת הגבול). לכן <math>\exists\varepsilon>0:\ \forall n_0\in\mathbb N:\ \exists n>n_0:\ \exists x_0\in(0,1):\ |f_n(x_0)-f(x_0)|=|x_0^n-0|>\frac12>\varepsilon</math> ולכן ההתכנסות לא במ"ש. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־17:43, 31 במאי 2012
את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
קבעו האם מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים . עבור מתקיים , לכן . ברור ש- מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, מתכנס.
עבור מתקיים , ולכן האינטגרל מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתבדר.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-. לדגמה, נבחר . קל לראות ש-, ולכן היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה .
- אם לכל בקטע הסדרה מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן .
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם אז .
- אם אז .
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי מתכנסת במ"ש אם לכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים .
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל- כי . מסקנה: .
כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים . נציב: . לכן מספיק לבחור ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
מצאנו בדוגמה 1 ש-. נשים לב כי ז"א (לפי הגדרת הגבול). לכן ולכן ההתכנסות לא במ"ש.