הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11"
מ (←משפט 4: הכללה לקטע לא סגור) |
|||
(2 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 9: | שורה 9: | ||
יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים: | יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים: | ||
* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I | * <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I | ||
− | * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)| | + | * <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|=0</math> |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש. | ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש. | ||
שורה 52: | שורה 52: | ||
==משפט 4== | ==משפט 4== | ||
− | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע | + | תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע I. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in I</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in I</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן <math>\forall x\in I:\ f'(x)=g(x)</math>. |
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | נקח <math>x\in | + | נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-I וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in I</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-I וכיוון שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}} |
גרסה אחרונה מ־17:52, 28 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
התכנסות במידה שווה (המשך)
תזכורת: תהי סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל קיים הגבול (כלומר, הפונקציה הגבולית מוגדרת בכל I). הגדרנו ש- במידה שווה ב-I אם לכל קיים כך שאם אז לכל .
הערה
אם במ"ש על I אז לכל ברור שמתקיים , כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.
משפט 1
יהיו קבוצת הפונקציות והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
- במ"ש ב-I
הוכחה
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את אז יש להוכיח כי . אבל אם ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים לכל . נובע מיד שאם אז ולכן והוכחנו , כדרוש.
לצד השני יהי נתון. ידוע כי קיים כך שלכל מתקיים ולכן עבור .
דוגמה
בקטע ברור כי .
נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש: .
נעיר כי בקטע עבור דווקא יש התכנסות במ"ש: ולכן , כדרוש.
משפט 2
נניח ש- במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה כל רציפה ב-. אזי גם f רציפה ב-.
הוכחה
יהי נתון. במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל מתקיים . רציפה ב- ולכן קיים כך שאם אז נובע שאם אז .
מסקנה
בתנאים של משפט 2, אם כל רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
דוגמה
בקטע ברור כי . כאן כל רציפה ב- ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.
משפט 3
נניח שלכל n מוגדרת ואינטגרבילית ב- ונניח שקיים במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים .
הוכחה
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה- רציפות למקוטעין), ונסתפק בהוכחה לכך ש-. שקול להוכיח ש-. ובכן יהי נתון. כיוון ש- במ"ש על I . נובע שלכל . מכאן נובע ש-.
דוגמה
משמאל נתונה הפונקציה עבור כלשהו.
נוכיח כי : עבור לכל n ולכן . אם אז קיים כך ש- ולכן לכל מתקיים , מה שגורר כי לכל ונובע ש-. בזה הוכחנו את הטענה ש- נקודתית ב-. נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי .
נוכיח כי (כאשר היא הפונקציה הגבולית): לכל nהשערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם במ"ש ב-I אז ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר .
- נוכיח ש- במ"ש בכל : .
- נוכיח : לכל n ולכל מתקיים ועבור כלשהו שאינו קיים.
משפט 4
תהי סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות בקטע I. נניח שהסדרה מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) והסדרה מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי קיים לכל ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן .
הוכחה
נקח כלשהו. לכל n הפונקציה רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר . נעביר אגף: . כעת נתון שקיים , נקרא לו . יתר על כן נתון ש- במ"ש ב-I וכל שכן במ"ש בתת הקטע בין ל-x. נסיק ממשפט 3 ש- נובע שלכל קיים והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-. לפי הנתון כל רציפה ו- במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש- רציפה ב-I וכיוון שלכל מתקיים החלק הראשון של המשפט היסודי נותן לכל .