הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.6.11"
(יצירת דף עם התוכן "=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dot...") |
מ (←הוכחת הלמה) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
=השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | =השתנות חסומה {{הערה|(המשך)}}= | ||
− | '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. | + | '''הגדרה:''' נתונה פונקציה f המוגדרת ב-<math>[a,b]</math> ותהי <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> חלוקה של <math>[a,b]</math> (<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-<math>v(f,P)=\sum_{i=1}^n |f(x_i)-f(x_{i-1})|</math>. כמו כן נגדיר את <math>\overset b\underset aV f</math>, המסומן גם כ-<math>\overset b\underset aT f</math> ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור <math>\sup_P\ v(f,P)</math>. אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. |
+ | |||
+ | '''דוגמה:''' ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11|אחת מההרצאות הקודמות]] הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-<math>\mathbb R</math>. | ||
==משפט 1== | ==משפט 1== | ||
שורה 16: | שורה 18: | ||
|o=\le | |o=\le | ||
}} | }} | ||
− | {{=|r=\sum_{k=1}^n(g(x_k)-g(x_{k-1}))+\sum_{k=1}^n(h(x_k)-h(x_{k-1})) | + | {{=|r=\sum_{k=1}^n\Big(g(x_k)-g(x_{k-1})\Big)+\sum_{k=1}^n\Big(h(x_k)-h(x_{k-1})\Big) |
|c=g,h מונוטוניות עולות, לכן: | |c=g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||
}} | }} | ||
{{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a) | {{=|r=g(b)-g(a)+h(b)-h(a) | ||
− | |c=הטורים הללו טלסקופיים | + | |c=הטורים הללו טלסקופיים: |
}} | }} | ||
|} | |} | ||
− | תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} | + | תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן <math>\overset b\underset aV f=\sup_P\ v(f,P)\le g(b)-g(a)+h(b)-h(a)<\infty</math>. {{משל}} |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==משפט 2== | ==משפט 2== | ||
שורה 42: | שורה 33: | ||
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים: | לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים: | ||
− | תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q p</math> ו-<math>N=\sup_Q n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q t</math>. | + | תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן <math>a=x_0<x_1<\dots<x_m=b</math>. כמו כן נגדיר לכל x את <math>x^+=\begin{cases}x&x\ge0\\0&x<0\end{cases}</math> ו-<math>x^-=\begin{cases}0&x>0\\-x&x\le 0\end{cases}</math>. לכן תמיד <math>x^+,x^-\ge 0</math> ומתקיים <math>x=x^+-x^-</math> ו-<math>|x|=x^++x^-</math>. עתה נגדיר <math>p=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+</math> ו-<math>n=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-</math>. לכן <math>v(f,Q)=p+n</math>. עוד נגדיר <math>P=\sup_Q\ p</math> ו-<math>N=\sup_Q\ n</math>. נסמן <math>T=\overset b\underset aV f</math> ו-<math>t=v(f,Q)</math>, לכן מתקיים <math>t=p+n</math> ו-<math>T=\sup_Q\ t</math>. נעיר שלכל Q מתקיים <math>t=p+n\le P+N</math> ולפיכך <math>T\le P+N</math>. לבסוף, נשים לב ש-<math>P,N\le T</math> (כי <math>n,p\ge0</math> ולכן <math>\sup\ p,\sup\ n\le\sup\ (p+n)</math>). |
====למה==== | ====למה==== | ||
שורה 50: | שורה 41: | ||
=====הוכחת הלמה===== | =====הוכחת הלמה===== | ||
− | # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^+-\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))^-\\&=\sum_{k=1}^m (f(x_k)-f(x_{k-1}))\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T | + | # מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T<\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}} |
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | # מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}} | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
− | לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\ | + | לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>g(x)=\overset x\underset aP f</math>, כאשר <math>\overset x\underset aP f=\sup_Q\ p</math> וכל Q היא חלוקה של הקטע <math>[a,x]</math>. באופן דומה נגדיר <math>h(x)=\overset x\underset aN f</math>. לפי סעיף 1 של הלמה, <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)-f(a)=\overset x\underset aP f-\overset x\underset aN f=g(x)-h(x)</math> ולכן <math>f(x)=g(x)-(h(x)-f(a))</math>. לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן <math>g(x)=\sup_Q\ \sum_{k=1}^m(f(x_k)-f(x_{k-1}))^+</math> ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש-<math>(f(x_k)-f(x_{k-1}))^\pm\ge0</math> ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם <math>h-f(a)</math> מונוטונית עולה). {{משל}} |
===מסקנה 1=== | ===מסקנה 1=== | ||
− | תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> | + | תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>. |
====הוכחה==== | ====הוכחה==== | ||
− | נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. | + | נגדיר g,h עולות כך ש-<math>f=g-h</math>. קל לראות שהן חסומות ב-<math>[a,b]</math> (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע. {{משל}} |
===מסקנה 2=== | ===מסקנה 2=== |
גרסה אחרונה מ־16:31, 13 ביוני 2012
תוכן עניינים
השתנות חסומה (המשך)
הגדרה: נתונה פונקציה f המוגדרת ב- ותהי חלוקה של (). ההשתנות (וריאציה) של f לפי P מוגדרת כ-. כמו כן נגדיר את , המסומן גם כ- ונקרא "ההשתנות הכללית/כוללת של הפונקציה", בתור . אם קבוצת כל ההשתנויות חסומה, כלומר ההשתנות הכללית סופית, נאמר של-f יש השתנות חסומה ב-.
דוגמה: באחת מההרצאות הקודמות הגדרנו פונקציה S רציפה שאין לה נגזרת באף נקודה. לפונקציה זו יש השתנות אינסופית בכל קטע ב-.
משפט 1
נניח ש-g ו-h הן פונקציות מונוטוניות עולות ב- ונגדיר לכל נקודה ב-. אזי f בעלת השתנות חסומה בקטע.
הוכחה
נבחר חלוקה כלשהי P של שנקודותיה הן . לכן
g,h מונוטוניות עולות, לכן: | ||||||
הטורים הללו טלסקופיים: |
תוצאה זו בלתי תלוייה בחלוקה P ולכן .
משפט 2
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי קיימות פונקציות עולות g,h ב- כך ש-.
הקדמה להוכחה
לפני ההוכחה נגדיר כמה דברים:
תהי Q חלוקה של הקטע שנקודותיה הן . כמו כן נגדיר לכל x את ו-. לכן תמיד ומתקיים ו-. עתה נגדיר ו-. לכן . עוד נגדיר ו-. נסמן ו-, לכן מתקיים ו-. נעיר שלכל Q מתקיים ולפיכך . לבסוף, נשים לב ש- (כי ולכן ).
למה
בסימונים הנ"ל:
הוכחת הלמה
- מתקיים נסיק ש- ולכן . הראנו כבר ש- ולכן מותר להעביר אגף: . כמו כן נסיק ש- ולכן . עתה נעביר אגף לקבל ולכן .
- מתקיים . נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל . כבר הראנו ש- ולכן .
הוכחה
לכל נגדיר , כאשר וכל Q היא חלוקה של הקטע . באופן דומה נגדיר . לפי סעיף 1 של הלמה, ולכן . לפי הגדרת g,h, ככל ש-x גדל כך גדל הקטע שבו מוגדרות החלוקות Q עבורן ובאופן דומה עבור h. מכיוון ש- ברור ש-g,h מונוטוניות עולות (ולכן גם מונוטונית עולה).
מסקנה 1
תהי f מוגדרת ובעלת השתנות חסומה ב-. אזי לכל קיים ולכל קיים .
הוכחה
נגדיר g,h עולות כך ש-. קל לראות שהן חסומות ב- (כי הן מונוטוניות ומוגדרות בנקודות a,b) ולכן (ממשפט באינפי 1) קיימים להן גבולות חד צדדיים לכל נקודה בקטע. מאריתמטיקה של גבולות גם ל-f יש גבולות חד צדדים בקטע.
מסקנה 2
תהי f פונקציה בעלת השתנות חסומה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
תהנה g,h מונוטוניות כך ש-. לפיכך הן אינטגרביליות בקטע ולכן גם הפרשן הוא פונקציה אינטגרבילית בקטע.