הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ (←דוגמה) |
|||
שורה 6: | שורה 6: | ||
===דוגמה=== | ===דוגמה=== | ||
− | נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}} | + | נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}{{משל}} |
− | |||
+ | [[קובץ:היקף מעגל הוא נגזרת השטח.png|ימין|200px]]נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-<math>\Delta A</math> היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי <math>\Delta A\approx2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dr}=2\pi r</math>. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע [[קובץ:היקף ריבוע אינו נגזרת השטח.png|100px]] ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math>: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור <math>b=\frac a2</math> ההיקף הינו <math>8b</math> והשטח - <math>4b^2</math>, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח. | ||
− | [[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png|ימין|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta | + | |
+ | [[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png|ימין|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi\left(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}\right)S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x_k)^2}</math>. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-r,r]</math> כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi r\sum\Delta x-\sum0=2\pi r(r-(-r))=4\pi r^2</math>, כפי שציפינו. | ||
</li> | </li> | ||
<li> | <li> | ||
+ | |||
==חישוב עבודה== | ==חישוב עבודה== | ||
בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>. | בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>. |
גרסה אחרונה מ־17:24, 26 באוקטובר 2011
תוכן עניינים
יישומים של אינטגרציה (המשך)
-
שטח המטעפת של גוף סיבוב (ללא הבסיסים)
נחלק את הקטע לתתי קטעים עבור כמה k-ים ובכל קטע נחסום חרוט קטום (חרוט קטום הוא חרוט שהוסר ממנו הקודקוד ע"י "חיתוך" חלק בעזרת מישור המקביל לבסיס). שטח המעטפת של החרוט הקטום הוא כאשר רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הנוצר בקטע , כלומר וכן הוא אורך היוצר (יוצר של חרוט קטום הוא קו ישר המחבר בין נקודה על שפת אחד הבסיסים לנקודה הקרובה ביותר לה בשפת הבסיס השני). לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום כאשר ביטוי זה שואף ל- וזה שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב בין a ל-b סביב ציר ה-x.דוגמה
נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים ולכן . השטח הוא
נשים לב כי שטח עיגול הוא והיקפו כמו כן נפח כדור הוא ושטחו . נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו- היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי , ז"א . בגבול זה מדוייק: . ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע ההיקף הוא והשטח - : ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור ההיקף הינו והשטח - , ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.
נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים ולכן . אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם ). ז"א, בכל קטע שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך יווצר שטח . כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע כך שלכל קטע יבנה שטח כולל , כפי שציפינו.
-
חישוב עבודה
בפיזיקה, כאשר כוח קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה . כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה לאורך הקטע בציר הזמן. נעשה חלוקה . בכל תת קטע , תקבל מקסימום ומינימום ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע (נקרא לה ) מקיימת . בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא כאשר . יש כאן וכאשר זה שואף לגבול אחד .
-
העבודה שווה לשינוי באנרגיה הקינטית
החוק השני של ניוטון אומר ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא ותאוצתו . לפי ניוטון . לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב ולכן . לכן העבודה שנעשית ע"י בין a ל-b היא ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.הסבר לנוסחה : כאן מניחים ש- ו-. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת . למדנו את כלל השרשרת כלומר .
מבוא לאינטגרציה נומרית
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
-
אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור
לדוגמה, נחשב בדיוק של : כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה : כאשר לאיזה c בין 0 ל-t. נציב : . לכן . אנו זקוקים ל-n כך ש-. לכל מתקיים ולכן השארית חסומה ע"י . אכן, עבור זה מספיק קטן. לפי זה השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי- לא כל פונקציה גזירה מספיק פעמים כדי שנוכל לחשב ל-n גדול די הצורך.
- יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.
- יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
-
קירוב עפ"י סכומי רימן
נניח ש-f רציפה בקטע . נקח כלשהו ונעשה חלוקה שווה של : כאשר לכל k נגדיר (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן . כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה ב- ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: מתקיים . בתוך הקטע הקטן נסתמך על משפט לגראנז' לומר עבור c בין x ל-. נעביר אגף לומר ולכן . היא התרומה של קטע זה לסכום רימן ו- הוא הטעות. כעת, אם נסמן נוכל להסיק יש בסה"כ n קטעים כאלה ולכן השארית הכללית חסומה ע"י .