הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
(8 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:
+
במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
−
* <math>c</math> הוא קבוע.
+
*<math>c</math> הוא קבוע.
−
* <math>f,g</math> פונקציות.
+
*<math>f,g</math> פונקציות.
−
* הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math>.
+
*הקטע הנתון הוא הקטע הסגור <math>[a,b]</math> .
−
* אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math>").
+
*אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "<math>f</math> חסומה" = "<math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math>").
−
* <math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש-<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>.
+
*<math>P</math> היא חלוקה <math>\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> של הקטע הנתון כך ש- <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> .
−
:* <math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math>.
+
:*<math>Q</math> היא העדנה של <math>P</math> .
−
:* <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו-<math>\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math>.
+
:*<math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}</math> היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה <math>P</math> כך ש- <math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math> ו- <math>\forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k</math> .
  
 
=אינטגרלים=
 
=אינטגרלים=
−
* אם <math>F</math> ו-<math>G</math> קדומות ל-<math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.
+
*אם <math>F,G</math> קדומות ל- <math>f</math> בנקודה כלשהי אז קיים <math>c</math> כך ש- <math>F(x)=G(x)+c</math> .
−
* אם <math>f</math> חסומה ב-<math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.
+
*אם <math>f</math> חסומה ב- <math>[a,b]</math> אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> .
−
* אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו-<math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.
+
*אם <math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ- <math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math> .
−
* לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.
+
*לכל חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math>), אם <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math> .
−
* לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f</math>.
+
*לכל <math>f</math> אינטגרבילית מתקיים <math>\underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f</math> .
−
* תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.
+
*תהי <math>f</math> חסומה. אזי <math>\underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math> .
−
* נניח ש-<math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.
+
*נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם <math>\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math> .
−
* נניח ש-<math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.
+
*נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש- <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math> .
−
* אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית.
+
*אם <math>f</math> רציפה אז <math>f</math> אינטגרבילית.
−
:* {{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
+
:*{{הערה|הכללה:}} אם <math>f</math> רציפה וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
−
::* {{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
+
::*{{הערה|הכללה להכללה:}} אם <math>f</math> רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית.
−
* אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.  
+
* אם <math>f</math> מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
−
* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ב-<math>[a,c]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
+
* נניח כי <math>a<c<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב- <math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> .
−
:* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
+
:*{{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו- <math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f</math> .
−
* אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}S(f,P,P')</math>.
+
*אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math> . יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו- <math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math> .
−
* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
+
*הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
−
* '''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
+
*'''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
−
* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.
+
*'''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x)</math> אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math> .
−
:* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.
+
:*'''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>f</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math> .
−
* '''הכללה לאי-שיוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.
+
*'''הכללה לאי-שוויון המשולש:''' אם <math>|f|</math> אינטגרבילית אז <math>f</math> אינטגרבילית ו- <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math> .
−
* אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.
+
*אם <math>f</math> אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> .
−
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
+
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math> .
−
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
+
::*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math> .
−
* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]</math> ו-<math>F'=f</math>).
+
*'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש- <math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math> . אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש- <math>F'(x_0)=f(x_0)</math>).
−
* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
+
*'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> .
−
* לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.
+
*לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.
−
* '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
+
*'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> .
−
:* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
+
:*<math>\int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
−
* '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>.
+
*'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .
−
:* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)</math>
+
:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math>
−
* כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> ול-<math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
+
*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
−
* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f</math> אי-שלילית בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
+
*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x)^2dx</math> .
−
* אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.
+
*אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math> .
−
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
+
*אם <math>f</math> גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> .
−
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
+
*שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה- <math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> .
−
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית חסומה ע"י <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math>.
+
*'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> .
−
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.
+
*'''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> .
−
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>.
+
*'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big|</math> .
−
* תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>.
+
*'''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math> .
−
* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
+
*תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> .
−
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.
+
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> ויהי <math>a<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math> .
−
* <math>f</math> מונוטונית עולה ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} f(x)</math>.
+
*<math>f</math> מונוטונית עולה ב- <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x)</math> .
−
* <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.
+
*<math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math> .
−
* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
+
*'''מבחן ההשוואה:''' נניח <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
−
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
+
*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R</math> . אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
−
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
+
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
−
* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
+
*'''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum\limits_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
−
:* {{הערה|הכללה:}} בפרט מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.
+
:*בפרט מתקיים <math>\sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n)</math> .
−
* תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע.
+
*תהא <math>f</math> מוגדרת ב- <math>[a,\infty)</math> . <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>\Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon</math> .
−
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.
+
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> .
−
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.
+
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.
−
* '''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math>. כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-<math>[a,\infty)</math> ו-<math>\lim_{x\to\infty}g(x)=0</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס.
+
*'''מבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> . כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ו- <math>\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס.
−
* '''סכימה בחלקים:''' <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math>.
+
*'''סכימה בחלקים:''' <math>\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k</math> .
−
* '''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
+
*'''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum\limits_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח <math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math> . אזי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
−
* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
+
*אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .
−
* עבור <math>a<c<b</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>, <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c+\int\limits_b^c f</math>.
+
*עבור <math>c\in(a,b)</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> , <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math> .
−
* תהי <math>f</math> מונוטונית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\lim_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב-<math>(a,b]</math>.
+
*תהי <math>f</math> מונוטונית ב- <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב- <math>(a,b]</math> .
−
* אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
+
*אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math> .
−
* '''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-<math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
+
*'''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- <math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
−
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
+
*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
−
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
+
:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
−
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math>.
+
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math> .
−
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אם <math>\int\limits_a^b |f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
+
*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> . אם <math>\int\limits_a^b|f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 +
 
 +
=סדרות וטורים של פונקציות=
 +
==התכנסות במ"ש==
 +
===סדרות===
 +
* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0</math>.
 +
* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
 +
* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.
 +
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.
 +
* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math>.
 +
* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.
 +
 
 +
===טורים===
 +
* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.
 +
* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בהחלט במ"ש על <math>I</math>.
 +
* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
 +
* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
 +
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.
 +
 
 +
====טורי חזקות====
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math>  אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
 +
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.
 +
:* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.
 +
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.
 +
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.
 +
* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
 +
* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו.
 +
 
 +
=השתנות חסומה=
 +
* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי <math>f</math> חסומה.
 +
* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש <math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
 +
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
 +
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

גרסה אחרונה מ־14:21, 6 במרץ 2019

במשפטים הבאים, אלא אם צוין אחרת, נסמן:

  • c הוא קבוע.
  • f,g פונקציות.
  • הקטע הנתון הוא הקטע הסגור [a,b] .
  • אם מצוין שלפונקציה יש תכונה מסוימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "f חסומה" = "f חסומה ב- [a,b]").
  • P היא חלוקה \{x_0,x_1,\dots,x_n\} של הקטע הנתון כך ש- a=x_0<x_1<\dots<x_n=b .
  • Q היא העדנה של P .
  • P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\} היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה P כך ש- \forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k] ו- \forall2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k .

אינטגרלים

  • אם F,G קדומות ל- f בנקודה כלשהי אז קיים c כך ש- F(x)=G(x)+c .
  • אם f חסומה ב- [a,b] אזי m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a) .
  • אם |Q|=|P|+r (כלומר, Q מתקבלת מ- P ע"י הוספת r נקודות) ו- f חסומה בקטע אזי 0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega וכן 0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega .
  • לכל חלוקה Q של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של P), אם f חסומה בקטע אזי \underline S(f,P)\le\overline S(f,Q) .
  • לכל f אינטגרבילית מתקיים \underline{\int\limits_a^b}f\le\overline{\int\limits_a^b}f .
  • תהי f חסומה. אזי \underline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P) וגם \overline{\int\limits_a^b}f=\lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P) .
  • נניח כי f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם \lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0 .
  • נניח כי f חסומה. f אינטגרבילית אם"ם לכל \varepsilon>0 קיימת חלוקה P של [a,b] כך ש- \overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon .
  • אם f רציפה אז f אינטגרבילית.
  • הכללה: אם f רציפה וחסומה בקטע הפתוח (a,b) אזי f אינטגרבילית.
  • הכללה להכללה: אם f רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי f אינטגרבילית.
  • אם f מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
  • נניח כי a<c<b . אזי f אינטגרבילית ב- [a,b] , ב- [a,c] וב- [c,b] אם"ם היא אינטגרבילית ב-[a,b] , ואם כן אז \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f .
  • הכללה: עבור f כנ"ל ו- a=x_0,x_1,\dots,x_n=b (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים \int\limits_a^b f=\sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f .
  • אם f חסומה אז \underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P) . יתר על כן, \underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P') ו- \overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P') .
  • הגדרות האינטגרל לפי דארבו ולפי רימאן שקולות.
  • לינאריות: עבור f,g אינטגרביליות מתקיים \int\limits_a^b(f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g .
  • מונוטוניות: אם f,g אינטגרביליות וכן \forall x\in[a,b]:f(x)\ge g(x) אזי \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g .
  • חיוביות: בפרט מתקיים שאם f אינטגרביליות ואי-שלילית אזי \int\limits_a^b f\ge0 .
  • הכללה לאי-שוויון המשולש: אם |f| אינטגרבילית אז f אינטגרבילית ו- \left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f| .
  • אם f אינטגרבילית וחסומה אז m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a) .
  • מקרה פרטי: אם \forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M ו- f אינטגרבילית אז \left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a) .
  • מקרה פרטי: אם f(x)=M (פונקציה קבועה) אז \int\limits_a^b f=M(b-a) .
  • המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי f אינטגרבילית ותהי F כך ש- \forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f . אזי F רציפה וכן לכל נקודה x_0\in[a,b] שבה f רציפה, F קדומה ל-f (כלומר, F גזירה ב- x_0 כך ש- F'(x_0)=f(x_0)).
  • נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי f רציפה. אזי \int\limits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a) .
  • לכל f רציפה יש פונקציה קדומה.
  • אינטגרציה בחלקים: נניח כי f',g' רציפות. אזי \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx .
  • \int\limits_a^b f\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g
  • שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c} .
  • \int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f
  • כל פונקציה רציונאלית \frac{p}{q} כך ש- \deg(p)<\deg(q) ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים \frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k} כאשר A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N ול- x^2+bx+c אין שורשים ממשיים.
  • נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- f אי-שלילית בקטע [a,b] סביב ציר ה- x הוא \int\limits_a^b\pi f(x)^2dx .
  • אם f רציפה אז הממוצע שלה בקטע [a,b] הוא \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f .
  • אם f גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx .
  • שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של f רציפה סביב ציר ה- x בקטע [a,b] הוא \int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx .
  • קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא f בעלת נגזרת n-ית רציפה. אזי \int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n כאשר P_n הוא פיתוח טיילור מסדר n של f והשארית היא \int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!} עבור \min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\} כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב x_0 .
  • קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא f בעלת נגזרת רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h . אזי \int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac{b-a}2Mh כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big| .
  • קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא f בעלת נגזרת שניה רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h. אזי \int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k) והשארית חסומה ע"י \frac5{12}(b-a)Mh^2 כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f''(x)\big| .
  • קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא f בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה P היא חלוקה שווה כאשר לכל k מתקיים \Delta x_k=h ו-n זוגי. אזי \int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right) והשגיאה חסומה ע"י \frac{b-a}{180}Mh^4 כאשר M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right| .
  • תהיינה f,g אינטגרביליות ב- [a,\infty) . אזי f+cg אינטגרבילית ב- [a,\infty) ומתקיים \int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) ויהי a<b . אזי f אינטגרבילית ב- [a,\infty) אם"ם f אינטגרבילית ב- [b,\infty) ואם כן \int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f .
  • f מונוטונית עולה ב- [a,\infty). אזי \lim\limits_{x\to\infty}f(x) קיים אם"ם \sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty ואם כן \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x) .
  • f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) . אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_a^R f חסומים מלעיל, ואם לא אז \int\limits_a^\infty f=\infty .
  • מבחן ההשוואה: נניח f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [a,\infty) וכן \forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x) . אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- [a,\infty) וכן \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R . אזי אם \int\limits_a^\infty g מתכנס אז \int\limits_a^\infty f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • המבחן האינטגרלי לטורים: תהא f אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- [k,\infty) עבור k\in\N כלשהו. אזי \int\limits_k^\infty f מתכנס אם"ם \sum\limits_{n=k}^\infty f(n) מתכנס.
  • בפרט מתקיים \sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n) .
  • תהא f מוגדרת ב- [a,\infty) . \lim\limits_{x\to\infty}f(x) קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל \varepsilon>0 קיים x_0>a כך שאם x_2>x_1>x_0 אזי \Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-[a,\infty) . אזי \int\limits_a^\infty f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- [a,\infty) . אם |f| אינטגרבילית בקטע אזי גם f אינטגרבילית בו.
  • מבחן דיריכלה: תהא f רציפה ב- [a,\infty) ונניח שהאינטגרלים החלקיים \int\limits_a^b f חסומים כאשר b\to\infty . כמו כן תהא g מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- [a,\infty) ו- \lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0 . אזי \int\limits_a^\infty f\cdot g מתכנס.
  • סכימה בחלקים: \sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N כאשר S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k .
  • משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור \sum\limits_{n=1}^N a_n יש סכומים חלקיים חסומים ונניח \{b_n\} סדרה מונוטונית כך ש-b_n\to0 . אזי \sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n מתכנס.
  • אם f,g אינטגרביליות ב- (a,b] אזי לכל c מתקיים \int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g .
  • עבור c\in(a,b) ו- f אינטגרבילית מקומית ב- (a,b] , f אינטגרבילית בקטע אם"ם f אינטגרבילית ב-(a,c], ואם כן \int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f .
  • תהי f מונוטונית ב- (a,b] . אזי \lim\limits_{x\to a^+}f(x) קיים אם"ם f חסומה ב- (a,b] .
  • אם f אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- (a,b] אז f אינטגרבילית ב- (a,b] אם"ם האינטגרלים החלקיים \int\limits_c^b f חסומים כאשר c\to a^+ .
  • מבחן ההשוואה: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- (a,b] וכן \forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x) . אם \int\limits_a^b g מתכנס אזי \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מבחן ההשוואה הגבולי: f,g אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- (a,b] וקיים \lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)} . אם \int\limits_a^b g מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.
  • מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב-(a,b] . אזי \int\limits_a^b f מתכנס אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon .
  • תהא f אינטגרבילית מקומית ב- (a,b] . אם \int\limits_a^b|f| מתכנס אז \int\limits_a^b f מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

  • f_n\to f במ"ש על I, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon, אם"ם \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0.
  • נניח כי f_n\to f במ"ש ב-I, ועבור x_0\in I כלשהו f_n רציפה ב-x_0 לכל n. אזי f רציפה ב-x_0.
  • f_n\to f במ"ש ב-[a,b] וכל f_n אינטגרבילית בקטע. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I, המתכנסות במ"ש ב-I לפונקציה g. כמו כן, \{f_n\} מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-I. אזי f=\lim_{n\to\infty} f_n מוגדרת ב-I ומתקיים f'=g.
  • סדרת פונקציות \{f_n\} מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon.
  • משפט דיני: נתון כי כל f_n רציפה בקטע סגור I והסדרות \{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N} עולות לכל x\in I או יורדות לכל x\in I. כמו כן, f_n\to f נקודתית ו-f רציפה ב-I. אזי f_n\to f במ"ש.

טורים

  • טור פונקציות \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon.
  • מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל f_n מוגדרת ב-I וחסומה שם, כלומר \forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n עבור M_n כלשהו, וכן \sum_{n=1}^\infty M_n מתכנס במובן הצר. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס בהחלט במ"ש על I.
  • נתון כי כל f_n רציפה ב-x_0\in I וכן S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על I. אזי S רציפה ב-x_0.
  • S=\sum_{n=1}^\infty f_n במ"ש על [a,b] וכל f_n אינטגרבילית ב-[a,b]. אזי S אינטגרבילית בקטע ומתקיים \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f.
  • \{f_n\}_{n\in\mathbb N} היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. הטור \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות s=\sum_{n=1}^\infty f_n' מתכנס במ"ש על I. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה S כך ש-S'=s.

טורי חזקות

  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות. רדיוס ההתכנסות R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}} מקיים שאם הנקודה x מקיימת |x-x_0|<R אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם |x-x_0|>R הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-[x_0-r,x_0+r] לכל 0<r<R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R. אם קיים S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} במובן הרחב אזי S=R.
  • יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n היא פונקציה המוגדרת ב-(x_0-R,x_0+R), כך שנגזרתה בקטע זה היא f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}.
  • הכללה: בתנאים הללו, f גזירה אינסוף פעמים ו-f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k} לכל k\in\mathbb N\cup\{0\}. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא R.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי לכל n\in\mathbb N\cup\{0\} מתקיים a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}, ז"א הטור הוא טור טיילור של f סביב x_0.
  • יהי f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות עם רדיוס התכנסות R>0. אזי f אינטגרבילית ב-(x_0-R,x_0+R) ומתקיים לכל x בקטע \int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא R.
  • משפט היחידות לטורי חזקות: אם \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n לכל x\in I אזי \forall n:\ a_n=b_n.
  • משפט אבל: נניח ש-f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות בעל רדיוס התכנסות R. אם \sum_{n=0}^\infty a_nR^n קיים אזי \lim_{x\to x_0+R^-}f(x) קיים ושווה לו, ואם \sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n קיים אזי \lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x) קיים ושווה לו.

השתנות חסומה

  • f בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי f חסומה.
  • f בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש g,h מונוטוניות עולות בקטע כך ש-f=g-h.
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי לכל x_0\in[a,b) קיים \lim_{x\to x_0^+} f(x) ולכל x_0\in(a,b] קיים \lim_{x\to x_0^-} f(x).
  • תהי f בעלת השתנות חסומה ב-[a,b]. אזי f אינטגרבילית ב-[a,b].
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_רשימת_משפטים&oldid=80263