הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון אורתוגונלי"
מתוך Math-Wiki
(←××××ר×ת×) |
(←הוכחה) |
||
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | =לכסון אורתוגונלי= | + | =לכסון אורתוגונלי (מעל <math>\mathbb R</math>)= |
− | + | ==אלגוריתם== | |
+ | * מצא את הע"ע של המטריצה A | ||
+ | * מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A | ||
+ | ** מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A | ||
+ | ** הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי | ||
+ | * שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית. | ||
+ | *<math>P^tAP=D</math> הינה מטריצה אלכסונית | ||
==הוכחה לאלגוריתם== | ==הוכחה לאלגוריתם== | ||
שורה 15: | שורה 21: | ||
− | בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A | + | בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <math><Au,w>=<u,Aw></math> כי A צמודה לעצמה (מעל הממשיים צמודה לעצמה=סימטרי). |
לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים. | לכן, <math>a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w></math> ולכן <math>a<u,w>=b<u,w></math> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר <math>a \neq b</math> ולכן בהכרח <math><u,w>=0</math> כלומר הם מאונכים. |
גרסה אחרונה מ־09:32, 26 ביוני 2021
לכסון אורתוגונלי (מעל )
אלגוריתם
- מצא את הע"ע של המטריצה A
- מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
- הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
- שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
- הינה מטריצה אלכסונית
הוכחה לאלגוריתם
- ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית
- ידוע שאם P אורתוגונלית אזי
- נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי אלכסונית.
טענה
A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית
הוכחה
בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן ולכן (כי D אלכסונית).
בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי כי A צמודה לעצמה (מעל הממשיים צמודה לעצמה=סימטרי).
לכן, ולכן אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר ולכן בהכרח כלומר הם מאונכים.
- לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
- לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
- מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
- לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
- לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
- לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
- אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
- בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.