הבדלים בין גרסאות בדף "שדות - תכונות בסיסיות"
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 13: | שורה 13: | ||
'''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. | '''הגדרה:''' נניח ש-<math>L</math> שדה ו-<math>F,K</math> תת שדות של <math>L</math>. הקומפוזיטום של <math>F,K</math> הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F,K</math>. הוא יסומן ב-<math>FK</math>. | ||
− | |||
+ | == איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים == | ||
'''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a\in K</math>. האיבר <math>a</math> נקרא אלגברי מעל <math>F</math> אם קיים פולינום <math>f(x)\neq 0</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. אם לא קיים פולינום כזה, <math>a</math> נקרא טרנסצנדנטי מעל <math>F</math>. | ||
שורה 42: | שורה 42: | ||
'''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | '''מסקנה:''' אם <math>K/F</math> הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר <math>[K:F]<\infty</math> היא הרחבה אלגברית. | ||
+ | |||
== תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | == תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו == | ||
− | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) | + | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות ו-<math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. הראו כי <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> שדה והמימד שלו מעל <math>F</math> סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את <math>F</math> ואת <math>a_1,\ldots,a_n</math>. (הערה: <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י <math>F[a_1,\ldots,a_n]=F[a_1,\ldots,a_{n-1}][a_n]</math>. קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.) |
'''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | '''תרגיל:''' תהי <math>L/F</math> הרחבת שדות, <math>a_1,\ldots,a_n\in L</math> אלגבריים מעל <math>F</math> ו-<math>F\subseteq K\subseteq L</math>. הוכיחו כי הקומפוזיטום של <math>F[a_1,\ldots,a_n]</math> ו-<math>K</math> הוא <math>K[a_1,\ldots,a_n]</math>. | ||
+ | |||
== איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | == איברים אלגבריים - מבט מעמיק == | ||
שורה 60: | שורה 62: | ||
'''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות. נסמן ב-<math>A</math> את כל האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. אזי <math>A</math> שדה. למעשה, <math>A</math> הוא תת השדה הגדול ביותר של <math>K</math> שאלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל <math>\mathbb{Q}</math> ב-<math>\mathbb{C}</math> הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של <math>\mathbb{Q}</math>.) | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' יהי <math>F</math> שדה ויהי <math>K=F(t)</math> (שדה השברים של <math>F[t]</math> = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה <math>t</math>). אזי האיברים האלגבריים מעל <math>K</math> הם רק השדה <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' יהיו <math>F\subseteq K\subseteq L</math> שדות כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית. אזי איבר <math>a\in L</math> הוא אלגברי מעל <math>K</math> אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' כוון אחד ברור מאליו -- אם <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math> אז הוא גם אלגברי מעל <math>K</math>. הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש-<math>a</math> אלגברי מעל <math>K</math> אזי קיים פולינום <math>0\neq f(x)\in K[x]</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. יהיו <math>b_0,b_1,b_2,\ldots,b_n\in K</math> מקדמי הפולינום <math>f</math>. היות ו-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית, אז כל האיברים <math>b_0,b_1,\ldots,b_n</math> אלגבריים מעל <math>F</math>. לכן, לפי תרגיל מקודם, <math>K_0=F[b_0,\ldots,b_n]</math> הוא שדה ממימד סופי מעל <math>F</math>. בנוסף, <math>f(x)\in K_0[x]</math> ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>K_0</math>. לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-<math>[K_0[a]:K_0]<\infty</math>. לכן <math>[K_0[a]:F]=[K_0[a]:K_0]\cdot [K_0:F]<\infty</math>. לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה <math>K_0[a]/F</math> אלגברית ולכן <math>a</math> אלגברי מעל <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' בהוכחה היינו צריכים להגדיר את <math>K_0</math> כי לא היה נתון ש-<math>[K:F]<\infty</math>. | ||
+ | |||
+ | '''מסקנה:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ויהי <math>A</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>F</math>. יהי <math>A'</math> שדה האיברים ב-<math>K</math> שאלגבריים מעל <math>A</math>. אזי <math>A=A'</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == שדות סגורים אלגברית == | ||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' שדה <math>F</math> נקרא סגור אלגברית אם לכל <math>f(x)\in F[x]</math> ממעלה 1 או יותר קיים <math>a\in F</math> כך ש-<math>f(a)=0</math>. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> יש שורש ב-<math>F</math>.) | ||
+ | |||
+ | '''טענה:''' יהי <math>F</math> שדה. אזי התנאים הבאים שקולים: | ||
+ | * <math>F</math> סגור אלגברית | ||
+ | * ל-<math>F</math> אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ-<math>F/F</math> (ההרחבה הטריוויאלית). | ||
+ | * כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל <math>F</math> מתפרק לגורמים לינאריים. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' תרגיל. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמא:''' המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, <math>\mathbb{C}</math>, הוא סגור אלגברית. | ||
+ | |||
+ | '''משפט:''' לכל <math>F</math> קיים שדה <math>K\supseteq F</math> כך ש-<math>K/F</math> הרחבה אלגברית ו-<math>K</math> סגור אלגברית. השדה <math>K</math> יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות. | ||
+ | |||
+ | '''סימון:''' את השדה <math>K</math> מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-<math>\overline{F}</math>. שדה זה נקרא ה'''סגור האלגברי של <math>F</math>'''. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == עוד תרגילים == | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' תהי <math>K/F</math> הרחבת שדות ונניח ש-<math>K</math> סגור אלגברית. יהי <math>A</math> שדה האיברים האלגבריים מעל <math>F</math> ב-<math>K</math>. הוכיחו כי <math>A</math> הוא הסגור האלגברי של <math>F</math>. | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' האם <math>\mathbb{R}</math> סגור אלגברית? מדוע? | ||
+ | |||
+ | '''תרגיל:''' יהי <math>F</math> שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של <math>\overline{F}</math> שווה לעוצמה של <math>F</math>. |
גרסה אחרונה מ־11:14, 25 בנובמבר 2011
תוכן עניינים
הרחבות של שדות
הגדרה: יהיה שדה. הרחבה של היא כינוי לכל שדה המכיל את . לרוב כותבים גם . באופן טבעי הוא מרחב וקטורי מעל . המימד של מעל יסומן ב- (הוא אינו חייב להיות סופי).
דוגמא: היא הרחבת שדות ממימד סופי. היא הרחבת שדות ממימד אינסופי.
טענה: יהיו שדות. אזי .
הרעיון של ההוכחה: אם הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל ו- הוא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל אז הקבוצה היא בסיס ל- כמרחב וקטורי מעל והיא בעלת איברים (זה לא טריוויאלי).
תכונה: אם שדה אז כל חיתוך של תתי שדות של הוא גם שדה.
הגדרה: נניח ש- שדה ו- תת שדות של . הקומפוזיטום של הוא תת השדה הקטן ביותר המכיל את . הוא יסומן ב-.
איברים אלגבריים וטרנסצנדנטים
הגדרה: תהי הרחבת שדות ו-. האיבר נקרא אלגברי מעל אם קיים פולינום כך ש-. אם לא קיים פולינום כזה, נקרא טרנסצנדנטי מעל .
דוגמא: הוא אלגברי מעל כי הוא מאפס את . לעומת זאת, ניתן להוכיח כי המספרים הם טרנסצנדנטיים מעל .
הערה: לא קשה להראות כי כמות המספרים המרוכבים האלגבריים מעל היא בת מנייה. לכן, בהכרח קיימים ב- (וגם ב-) איברים טרנסצנדנטיים. (זו הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שקיימים מספרים טרנצנדנטיים).
דוגמא: יהיה שדה ויהי שדה השברים של . קל לבדוק כי טרנסצנדנטי מעל . למעשה, כל איבר ב- הוא טרנסצנדנטי.
הערה: אם שדות ו- אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . (נובע ישירות ע"י שימוש בהגדרה מכך ש-.)
הגדרה: הרחבת שדות נקראת אלגברית אם כל איבר ב- אלגברי מעל .
סימון: תהי הרחבת שדות ו-. מסמנים .
טענה: תהי הרחבת שדות ו-. אזי אלגברי מעל אם ורק אם המימד של כמרחב וקטורי מעל סופי. במקרה זה שדה.
הוכחה: כוון אחד: נניח ש-. אזי הקבוצה היא בגודל ולכן תלויה לינארית מעל . לכן קיימים , לא כולם 0, כך ש-. אם נגדיר אז ובעצם הראינו . לכן אלגברי מעל .
כוון שני: נניח שקיים כך ש-. נסמן . מספיק להראות ש- קבוצה פורשת (מעל ) ל-. יהי אזי עבור כלשהו. קיימים פולינומים כך ש- וגם . אזי ו- כי .
כדי לראות שבמקרה זה שדה, נשים לב ש- הוא תחום שלמות ממימד סופי מעל ולכן סיימנו הודות לתרגיל הבא:
תרגיל: יהי תחום שלמות ו- שדה כך ש-. אזי שדה. [רמז: לכל ההעתקה היא העתקה לינארית חד חד ערכית (מדוע?).]
מסקנה: אם הרחבת שדות ממעלה סופית (כלומר היא הרחבה אלגברית.
תרגילים - כדי לראות שהבנתם עד עכשיו
תרגיל: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל . הראו כי שדה והמימד שלו מעל סופי. הראו כי זה תת השדה הקטן ביותר המכיל את ואת . (הערה: מוגדר באופן אינדוקטיבי ע"י . קיימות גם הגדרות שקולות אחרות.)
תרגיל: תהי הרחבת שדות, אלגבריים מעל ו-. הוכיחו כי הקומפוזיטום של ו- הוא .
איברים אלגבריים - מבט מעמיק
טענת עזר: תהי הרחבת שדות ו- אלגבריים. אזי הרחבה אלגברית.
הוכחה: לפי טענה מקודם מספיק להראות ש-. מתקיים ולכן מספיק להראות סופיות של כל אחד מהגורמים במכפלה. לפי אותה טענה כי אלגברי מעל . בנוסף, אלגברי מעל ולכן גם מעל . כעת, אותה טענה גם אומרת כי ולכן גמרנו.
מסקנה: אם הרחבת שדות ו- אלגבריים מעל , אז גם אלגבריים מעל .
תרגיל: בהנחות של המסקנה, אם אז גם אלגברי.
מסקנה: תהי הרחבת שדות. נסמן ב- את כל האיברים ב- שאלגבריים מעל . אזי שדה. למעשה, הוא תת השדה הגדול ביותר של שאלגברי מעל .
דוגמא: לפי מה שעכשיו הראינו, אוסף האיברים האלגבריים מעל ב- הוא שדה. (למעשה, זה הסגור האלגברי של .)
דוגמא: יהי שדה ויהי (שדה השברים של = שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה ). אזי האיברים האלגבריים מעל הם רק השדה .
טענה: יהיו שדות כך ש- הרחבה אלגברית. אזי איבר הוא אלגברי מעל אם ורק אם הוא אלגברי הוא אלגברי מעל .
הוכחה: כוון אחד ברור מאליו -- אם אלגברי מעל אז הוא גם אלגברי מעל . הכוון השני לא טריוויאלי. נניח ש- אלגברי מעל אזי קיים פולינום כך ש-. יהיו מקדמי הפולינום . היות ו- הרחבה אלגברית, אז כל האיברים אלגבריים מעל . לכן, לפי תרגיל מקודם, הוא שדה ממימד סופי מעל . בנוסף, ולכן אלגברי מעל . לפי טענה ממקודם, זה אומר ש-. לכן . לפי מסקנה מקודם, זה אומר שההרחבה אלגברית ולכן אלגברי מעל .
הערה: בהוכחה היינו צריכים להגדיר את כי לא היה נתון ש-.
מסקנה: תהי הרחבת שדות ויהי שדה האיברים ב- שאלגבריים מעל . יהי שדה האיברים ב- שאלגבריים מעל . אזי .
שדות סגורים אלגברית
הגדרה: שדה נקרא סגור אלגברית אם לכל ממעלה 1 או יותר קיים כך ש-. (כלומר, לכל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל יש שורש ב-.)
טענה: יהי שדה. אזי התנאים הבאים שקולים:
- סגור אלגברית
- ל- אין אף הרחבה אלגברית חוץ מ- (ההרחבה הטריוויאלית).
- כל פולינום ממעלה 1 או יותר מעל מתפרק לגורמים לינאריים.
הוכחה: תרגיל.
דוגמא: המשפט היסודי של האלגברה אומר ששדה המספרים המרוכבים, , הוא סגור אלגברית.
משפט: לכל קיים שדה כך ש- הרחבה אלגברית ו- סגור אלגברית. השדה יחיד עד כדי איזומורפיזם של שדות.
סימון: את השדה מהמשפט האחרון נהוג לסמן ב-. שדה זה נקרא הסגור האלגברי של .
עוד תרגילים
תרגיל: תהי הרחבת שדות ונניח ש- סגור אלגברית. יהי שדה האיברים האלגבריים מעל ב-. הוכיחו כי הוא הסגור האלגברי של .
תרגיל: האם סגור אלגברית? מדוע?
תרגיל: יהי שדה אינסופי. הוכיחו שהעוצמה של שווה לעוצמה של .