הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגיל 5.6 סעיף א)
(←‏עוד שאלה לא סטנדרטית)
 
(304 גרסאות ביניים של 23 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 3: שורה 3:
 
=ארכיון=
 
=ארכיון=
 
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 1|ארכיון 1]]
 
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 1|ארכיון 1]]
 +
 +
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 2|ארכיון 2]]
 +
 +
[[שיחה:88-112 לינארית 1 סמסטר א תשעב/ארכיון 3|ארכיון 3]]
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
  
−
== תרגיל 6  ==
 
  
−
ערב טוב,
 
−
בחלק מתרגיל 6 מופיעה המטלה 5.6 סעיפים א, ב, ג. אני לא מצליח למצוא את סעיף ג, האם מדובר בתרגיל שבעמוד 19 בחוברת?
 
  
−
תודה רבה,
 
−
דביר
 
  
−
:: כנראה שזו טעות. תפתרו רק את סעיפים א,ב. :--[[משתמש:מני ש.|מני]]
+
== אפשר להסביר איפה יהיה השיעור חזרה לא בדיוק הבנתי ==
  
−
== תרגיל 6 שאלה 6 סעיף ב' ==
+
תודה(כאילו מה זה חדר המחלקה?)
−
נתון: <math>tr(AA^*)=0</math>
+
−
צריך להוכיח: <math>A=0</math>
+
  
−
האם כוכבית משמע transpose במקרה זה?
+
::בנין מתמטיקה, קומה 2, חדר מימין
−
ואם כן יש לכך הפרכה לדעתי.
+
−
:: כוכבית אינה transpose. ההגדרה של כוכבית מופיעה לפני השאלה. קודם מבצעים transpose (שחלוף) של המטריצה ואח"כ מחליפים כל איבר במטריצה שהתקבלה בצמוד המרוכב שלו.
+
−
למשל <math>1+i</math> מוחלף ב <math>1-i</math>. :--[[משתמש:מני ש.|מני]]
+
  
−
תודה רבה
+
== גרעין  ==
  
−
== בקשר לפתרונות פונדמנטאליים ==
+
שלום,
 +
שאני צריכה להוכיח (ker (T שונה מ <0> (בסוגריים מסולסלות) מספיק שאני מראה שיש איבר בקרנל ששונה מאפס?  
 +
תודה.
 +
::כן. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 10:52, 3 בפברואר 2012 (IST)
  
−
בעמוד 17 בתרגיל 3.4 צריך להוכיח #L#=H
+
== הפיכות של מטריצה ==
−
כלומר גודל קבוצת הפתרונות של המערכת הלא הומוגניים שווה לגודל קבוצת הפתרונות ההומוגניים
+
−
עכשיו כתבתם בכתה את הביטוי L=v+H  האם הכוונה פה היא לחבר פתרון ספציפי של מערכת הומוגונית לכל פתרון בקבוצת הפתרונות של המערכת ההומוגנית?
+
  
−
v=פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית
+
אם הוכחתי שכפל AB=I, האם זה מראה שA בהכרח הפיכה? או שמא אני צריך להוכיח גם שBA=I ??
  
−
תודה
+
תודה ושבת שלום :)
  
−
:: כתוב פעם אחת אצלך "פתרון ספציפי של מערכת הומוגנית" ופעם אחרת "פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית". אני מניח שהמילה "לא"  בטעות לא הוקלדה  בפעם הראשונה.  בקיצור התשובה לשאלתך היא חיובית בהנחה
+
::זה נכון רק עבור מטריצות ריבועיות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:14, 4 בפברואר 2012 (IST)
−
שבאמת התכונת לרשום מה שרשמת בפעם השניה:
+
−
v=פתרון ספציפי למערכת לא הומוגנית. --[[משתמש:מני ש.|מני]]
+
  
−
== תרגיל 5.6 סעיף א ==
+
אבל זאת לא השאלה... לא, לא חייבים, ניתן להניח בשלילה שA אינה הפיכה ואז יוצא שהדט' של A היא 0 ומכאן שהדט' של AB גם 0 ומכיוון ש-AB=I אז הדט של AB חייב להיות שווה לדט' של I שהיא n (טבעי) ולכן יש סתירה --> A הפיכה.
  
−
אוקיי מצאתי את המחלקה הכי גדולה..
+
::יופי. אבל דטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות! מה שמחזיר אותנו לתשובתי המקורית...--[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 19:46, 6 בפברואר 2012 (IST)
−
אבל ניסוח השאלה שם לא ברור לי כל כך, מז"א כך שכל שתי מטריצות במחלקה מתחלפות? הכוונה במחלקה הגדולה ביותר? או בכל מחלקה שהיא מכילה להראות בנפרד? או בכלל הכוונה בין כל שתי מחלקות במוכלות בה?
+
  
 +
== שאלה ממבחן ==
 +
 +
תהיו A,B מטריצות מגודל n*n צ"ל: dimcspanAB=dimcspanB-dim(nullA^cspanB התחלתי את הפיתרון בשימוש משפט המימדים ולפני תנאי  dimnullA+rankA=n והגעתי לזה rankA>=dimcspan-dim(nullA^cspanB  האם זה הכיוון או שממש לא?
 +
 +
== שאלה על שדות ==
 +
 +
עבור שדה כלשהו <math>\mathbb F</math>, האם יש משמעות ל-<math>1/2</math>?
 +
כוונתי לאיבר <math>(1_\mathbb F+1_\mathbb F)^-1</math>, כך שיתנהג כמו <math>1/2</math>. תודה.
 +
 +
:לא בהכרח קיים כזה, למשל בשדה ממאפיין 2. מעבר לזה יש לזה שימוש בהוכחות לעיתים, למשל שפונקציה זוגית וגם אי זוגית היא בהכרח פונקצית האפס (שוב, מעל שדה שאינו ממאפיין 2) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
== מבחן ברביעי ==
 +
 +
מתי יפרסמו שעות ומיקום הבחינה ברביעי?
 +
 +
== משפט ההגדרה ==
 +
 +
גיליתי שהסתבכתי לגמרי עם המשפט הזה (העתקות ליניאריות, כמובן). מה המשפט בדיוק? תודה רבה, אריאל.
 +
::המשפט מופיע בעמ' 54 לאחר תרגיל 1.26. אפשר לקרוא אותו ואם יש עליו שאלות ספציפיות אשמח לענות.  --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:52, 5 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
== מימד מרחב השורות/עמודות ==
 +
 +
אם מבקשים ממני להוכיח שמימד מרחב השורות והעמודות של מטריצה כלשהי שווים, זה בסדר אם לקחתי פשוט מטריצה כללית כלשהי מגדול mxn, והראתי שאחרי דירוג מתקבלים או עמודות אפס או שורות אפס...
 +
פילגתי את המקרים לפי m>n, m<n, m=n. ואז הגעתי למסקנה הדרושה...
 +
 +
האם זוהי הוכחה ? או שיש דרך אחרת שצריך לגשת לתרגיל?
 +
 +
תודה רבה!
 +
::לא כ"כ ברור לי האם השאלה כאן היא על הוכחת המשפט הכללי: <math>dim(R(A))=dim(C(A))</math>?
 +
אם כן אז בתרגיל 11.4 בעמ' 48 יש הצעה להוכחת המשפט שנראית די אלגנטית. קצת קשה לי להגיד אם ההוכחה שלך טובה כי היא לא ברורה לי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 20:59, 5 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
 +
אני אנסה להסביר את ההוכחה, כי סתם מעניין אותי להבין למה היא לא תקפה :)
 +
לקחתי מטריצה מגודל mxn. מטריצה כללית כמובן בלי שום הגבלות. לאחר מכן דירגתי אותה. ישנם שלוש אפשרויות שונות לדירוג:
 +
 +
m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים.
 +
 +
n<m : ואז יש יותר שורות ולכן יש שורות אפסים.
 +
 +
m=n : ומכאן פשיטא שמדובר בכך ש : dim (r(A)) = dim (c(A)) .
 +
 +
מכאן אנחנו מקבלים סוג של מטריצה שנראת כמו מטריצת הזהות ומתחתיה כמה שורות של אפשים ( או עמודות) ואין הם תורמים לבסיס, לכן הם לא תורמים גם למימד. מכן שהמימד שווה למטריצה היחידה שנוצרת - בעצם כמות העמודות/שורות בת"ל...::
 +
 +
מצטער על הניסוח של ההוכחה, אבל זה נראה לי פשוט מדי, לא כן?
 +
 +
 +
 +
תודה ולילה טוב :)
 +
 +
--[[משתמש:Dvir1352|Dvir1352]] 23:04, 5 בפברואר 2012 (IST)
 +
::הדירוג שאתה מדבר עליו הוא דירוג שורות או דירוג עמודות? לא ברורה לי הטענה:" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."
 +
למשל במטריצה עם שורה אחת ושתי עמודות <math>(34)</math> יש יותר עמודות משורות והיא מדורגת שורה ואין בה שורות אפסים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 23:11, 5 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
 +
" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."(התכוונתי יותר עמודות ולכן יש '''עמודות''' אפסים) m זה השורות וn העמודות... אם m גדול מn ז"א שאחרי דירוג (דירוג מטריצה עד לקנונית הכוונה) נקבל מצב בו יש (ע"פ הגדרת המטריצה המדורגת קנונית) שורות שבה כמו מן מדרגות יש אחדים ואחר כך אפסים...
 +
אם ישנם יותר שורות מעמודות, יהיו שורות אפסים, ושוב מאחר והם לא תורמים למימד מימד השורות שווה למימד העמודות...
 +
 +
סורי על הניסוח הכושל D: תודה רבה!
 +
--[[משתמש:Dvir1352|Dvir1352]] 23:40, 5 בפברואר 2012 (IST)
 +
::אוקיי אני מסכים שבדירוג הקנוני השורות שאינן שורות אפסים מהוות בסיס למרחב השורות. עדיין לא הבנתי איך רואים שמספרן כמספר עמודות הבת"ל. נראה לי שבפורום זה קצת קשה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 00:39, 6 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
 +
 +
טוב, תודה, אנסה להגיע ביום שלישי ולהסביר את טענתי :)
 +
 +
== מתכונן למבחן ==
 +
במבחן הזה[http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/TAU/LA1_Alesker_2011_06_MA.pdf], שאלה 2 ב'. חשבתי על פתרון ואני לא בטוח אם הוא נכון! בניתי העתקה לינארית ממרחב המטריצות הריבועיות אל F (סקלרים) שהיא העתקה לינארית: [http://latex.codecogs.com/gif.latex?\\T:F^{nxn}%20\to%20F%20\\T(X)=tr(PX)].
 +
 +
מה שאנחנו צריכים למצוא מהשאלה זה מימד הגרעין של אותה העתקה, ולפי משפט הדרגה הוא שווה למימד של מרחב המט' פחות מימד התמונה. ולכן הוא שווה ל <math>n^2-1</math>.
 +
 +
הפתרון הזה נכון? ובנוסף, יש פתרון קל וקצר יותר?
 +
::זה נראה לי הפתרון הקצר ביותר (האמת שקשה לי לחשוב בכלל על פתרון אחר). בכל מקרה חסר משהו בפתרון והוא להראות שמימד התמונה=1. מכיון שהתמונה היא ת"מ של <math>\Bbb R</math> מ"ל שההעתקה אינה העתקת האפס. זה נכון כי <math>P^{-1}</math> מועתקת ל <math>n\neq 0</math> וזה משלים את ההוכחה.
 +
צריך להשתמש בכך ש<math>P</math> הפיכה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 11:24, 6 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
מני, אני מרפרף על כל מני מבחנים, וממש קשה למצוא שאלות ממש קשות, אתה יכול להפנות אותי לכמה?
 +
::מצטער. אין לי מאגר סודי של מבחנים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 12:38, 6 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
== בקשר למימדים של תתי מרחב ==
 +
 +
האם לכל שני תתי מרחבים W,V
 +
Dim(W)+Dim(V)>=Dim(V+W)
 +
?
 
תודה
 
תודה
  
  
−
::יש למצוא את המחלקה הגדולה ביותר בה כל שתי מטריצות מתחלפות. אם אתה חושב, למשל, שזאת מחלקת המטריצות האלכסוניות, אז עליך להראות שכל שתי מטריצות אלכסוניות מתחלפות שם, וכמו כן, בכל מחלקה גדולה יותר, לא כל שתי מטריצות מתחלפות. --[[משתמש:לואי פולב|לואי]] 14:12, 11 בדצמבר 2011 (IST)
+
אם אני לא טועה זה צריך להיות dim(v+w)=dim(v)+dim(w)-dim(u^w) ...
  
−
אוקיי אבל למה שהראתי שכל שתי מטריצות מתחלפות שם ובקבוצה מעליה לא כל שתי מטריצות מתחלפות זה גורר שהיא הכי גדולה כך שכל שתי מטריצות מתחלפות בה וכל שאר הסוגים של המטריצות שמוכלים בה גם בהם כל שתי מטריצו מתחלפות..?
+
זה משפט המימדים באופן כללי אני מדבר על כל שני תתי מרחב
 +
::אכן אי השוויון מתקיים ואפשר לראות אותו ע"י משפט המימדים.--[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:18, 6 בפברואר 2012 (IST)
 +
 
 +
 
 +
== שאלה מהמבחן ==
 +
חלק א', שאלה 2: [http://math-wiki.com/images/8/8d/11Linear1testA.pdf] יש מספר דרכים דיי גדול לפתור שאלה זו, יש לי פתרון דיי קצר, אבל אני לא בטוח אם היו מקבלים אותו:
 +
 
 +
<math>AB=I</math> לכן <math>|AB|=|I|=n</math> מכיוון ו-n טבעי אז הדט' שונה מ-0, ולכן בהכרח <math>|A|\neq 0</math> וגם <math>|B|\neq 0</math> אז B הפיכה ולכן קיימת מט' C כך ש- <math>BC=I</math>. נכפול משמאל ב-A: <math>C=IC=ABC=AI=A</math> ויוצא ש- <math>BA=I</math>.
 +
 
 +
אז זה פתרון שהיה מתקבל במבחן?
 +
:: אני גם לא בטוח שהיו מקבלים אותו כי לא למדנו דטרמיננטות.
 +
 
 +
שתי דרכים אופציונליות: א. (סקיצה של הוכחה) אם <math>AB=I</math> ניתן להוכיח ש <math>A</math> אינה שקולת שורה למטריצה עם שורת אפסים בשל השוויון <math>AB=I</math>. כעת הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא I או שיש בה שורת אפסים (אחת או יותר) לכן לפי הנ"ל הצורה הקנונית של A היא I. לכן קיימת מטריצה הפיכה C (מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות) כך ש <math>CA=I</math>. להוכיח ש<math>B=C</math> אפשר בדרך שתוארה קודם.
 +
 
 +
ב.לטובת מי ששאל אותי בשעות קבלה בהקשר של העתקות ליניאריות <math>AB=I </math> גורר ש <math>T_AT_B=I</math> לכן ההעתקה הליניארית <math>T_B</math> חח"ע וההעתקה  <math>T_A</math> על אבל שתי העתקות הן מ<math>F^n</math> לעצמו ולכן חח"ע שקול לעל. מכאן למשל  <math>T_A</math> חח"ע ולכן יש לה גם הופכית שמאלית אבל בדומה להוכחה א ניתן להראות שההופכית הימנית שוה לשמאלית ומכאן <math>T_BT_A=I</math> ולכן <math>BA=I</math>
 +
ג. ראינו בכיתה (בשיעור האחרון לפני שיעור החזרה לדעתי)
 +
עוד הוכחה באמצעות העתקות ליניאריות. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 18:03, 7 בפברואר 2012 (IST)
 +
 
 +
1)אני כן למדתי דטרמיננטות.
 +
 
 +
2) כל עוד לא אמרו לי להוכיח דט' מותר להשתמש בכל משפט שקיים, אפילו מאלגברה לינארית 2. (אני זוכר שאיזה מרצה/ מתרגל אמר את זה)
 +
 
 +
3)אין לי מושג מה "אנחנו למדנו" כי אני למדתי את זה בקיץ ואני עושה מועד ג', אז בבקשה תרחיב.
 +
 
 +
אני יכול גם במקום זה פשוט לכתוב שבגלל ששורות AB בת"ל וגם <math>F^n=R(AB)\subseteq R(B)\subseteq F^n</math> ולכן שורות B פורשות את המרחב וגם מספרן הוא n ולכן בסיס ולכן בת"ל ולכן B הפיכה.
 +
 
 +
== מבנה המבחן ==
 +
 
 +
מה מבנה המבחן האם הוא כמו המבחן של רזניקוב משנה שעברה?
 +
::יש 3 שאלות ללא בחירה. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:51, 7 בפברואר 2012 (IST)
 +
 
 +
תודה!!!
 +
נ.ב כמה זמן זה?
 +
 
 +
== מהחוברת של בועז צבאן: עמוד 42 תרגיל 7.17 ==
 +
 
 +
צריך להוכיח שקילות בין שני תנאים:
 +
 
 +
א. <math>B</math> בסיס.
 +
 
 +
ב. <math>0_V \in B</math> ...
 +
 
 +
איך אפשר להוכיח בין שני התנאים? הרי אם <math>0_V \in B</math> אז <math>B</math> לא בסיס...
 +
::זו שאלה שיש בה טעות. פתרנו אותה בתרגול אמור להיות רשום 0 לא שייך לB. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 17:50, 7 בפברואר 2012 (IST)
  
 
תודה
 
תודה
 +
 +
== אורך המבחן ==
 +
 +
כמה זמן הוא המבחן והאם בשביל תוספת הזמן אני צריך להביא את האישור המקורי או שאפשר העתק?
 +
::אני לא בטוח לגבי הזמן. בכל מקרה תשאל את מלי. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 19:05, 7 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
== מציאת בסיס של קבוצה סופית נפרשת ==
 +
 +
שלום,
 +
במידה ונתונים לי ווקטורים  {S = {v1, v2, v3 כאשר מבצעים (Span(S.
 +
במידה ורשמתי את הווקטורים הנתונים v1, v2,v3 כעמודות במטריצה ודרגתי (לפי הדירוג שורות הרגיל), (כגון שמראש נתבקשתי לבדוק האם ווקטור כל שהוא נמצא במרחב הנפרש ע"י קבוצה זו שאז אני רושם את הווקטורים כעמודות ואת הווקטור אותו אני בעמודת הפתרונות ובודק האם קיים צירוף ליניארי וכו'). האם ניתן מהמצב המדורג למצוא את הבסיס של המרחב?
 +
מקווה שהשאלה ברורה..
 +
תודה!
 +
 +
 +
 +
לאחר דירוג מט' (ששורותיה הם S) מקבלים מט' שכל אחד מוקטורי השורה שלה שווים  לצ"ל מסויים (ויחיד) של איברי S כך שהסקלר של אותה מספר השורה שונה מ-0 (<math>u_i=\alpha_1v_1+...+\alpha_iv_i+...+\alpha_nv_n</math> וגם <math>\alpha_i\neq0</math>). בכל מקרה, מה שיוצא לך בשורות לאחר הדירוג הקנוני אלו הם וקטורים בת"ל, לא בהכרח יוצא שהדירוג הקנוני הוא I ולכן לא בהכרח זהו בסיס של המרחב.
 +
 +
אני לא בטוח שהסברתי את עצמי כראוי.
 +
כשכתבתי למצוא את הבסיס של המרחב התכוונתי לתת מרחב של F^n אליו שייכים הווקטורים v1-v3; כלומר span של קבוצה תמיד פורש מרחב ווקטורי ולמצוא בסיס הכוונה למצוא קבוצה בת"ל מקסימלית הפורשת את אותו מרחב שה-span של קבוצת הווקטורים הנתונה נותן (יתכן ומרחב זה יהיה חלקי ל- F^n )  במצב כזה מה שידוע לי שניתן לעשות זה לרשום את הווקטורים של הקבוצה הנתונה כווקטורי שורה במטריצה ולדרג, הווקטורים שהתקבלו הם הבסיס של תת המרחב הנפרש ע"י קבוצה זו. השאלת אליה התכוונתי היא, כאשר רשמתי את הווקטורים של הקבוצה הנתונה, כעמודות במטריצה (כגון במצב שתיארתי בשאלה המקורית) ודירגתי (דרוג שורות רגיל), האם אני יכול להסיק על הבסיס של תת המרחב? (כמו שהייתי יכול להסיק אם הייתי רושם את הווקטורים כשורות במטריצה ומדרג).
 +
מקווה שעכשיו זה יותר ברור.. תודה!
 +
 +
אם זה עמודות מט', אז זה יעבוד רק אם הם בת"ל, אחרת צריך לשים אותם בשורות המט', זה כי אתה עושה פעולות שורה ולכן צ"ל של הוקטורים.
 +
 +
== שאלה ממבחן ==
 +
 +
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf
 +
אני מנסה לפתור את סעיף ג'..
 +
חשבתי על כך שבעצם דרוש לנו: ImT=KerR מסעיף קודם קיבלתי ש.. 2 =(dim(kerT
 +
כך שלפי דעתי יש בעצם 2 אפשרויות לT ולכן מימד V הוא 2..
 +
שינוי לאן שולחים את שני הוקטורים השייכים לImT.. יש 2 אפשרויות לוקטורים ב-kerT
 +
או שיש אפשרות לשלוח את שניהם לאותו וקטור ואז המימד בכלל 4..
 +
 +
אשמח לעזרה איך פותרים!
 +
 +
מכיוון ולכל שתי הע"ל שונות יש מט' מייצגות שונות אז נמצא את המימד של V רק שנחליף את R,T,O ב-<math>[R]^S_S,[T]^S_S,[O]^S_S</math> ואז אם נותנים משתנים לכל איבר במט' המייצגת של T מקבלים שצריך לבחור 8 משתנים מתוך 16=4x4 זאת אומרת DimV=8.
 +
 +
== שאלה על המבחן ==
 +
 +
למה נותנים מבחן שיותר קשה מכל מבחן שנמצא כאן: [http://math-wiki.com/index.php?title=%D7%90%D7%9C%D7%92%D7%91%D7%A8%D7%94_%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_1/%D7%9E%D7%91%D7%97%D7%A0%D7%99%D7%9D] ובאתר של בועז ורזניקוב?
 +
המבחן היה הרבה יותר מדי קשה, פתיר! אבל קשה. מה עליי לעשות/להשיג כדי שיעשו מועד נוסף שיהיה קל בהרבה? אני מרגיש שכל מה שפתרתי לא הכין אותי בכלל למבחן הזה.
 +
 +
::היינו שמחים לעזור אבל אנחנו לא הכתובת. מני ולואי
 +
מסכימה עם כל מילה שלך. מבחן קשה מאוד. אנחנו חייבים להפנות את הטענות שלנו לאוזניים הנכונות בתקווה למצוא איזשהו פתרון.
 +
 +
האם יש סיכוי לפקטור או משהו בסגנון?
 +
 +
== תוכלו להעלות את המבחן? ==
 +
 +
:המבחן היה שאלון סגור...
 +
::אז מתרגלים?
 +
::אין לנו את המבחן. אני מניח שהמרצה יעלה את המבחן עם הפתרונות בימים הקרובים. --[[משתמש:מני ש.|מני]] 00:33, 12 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
== מטריצה הופכית של משולשית עליונה ==
 +
 +
איך מראים שגם היא משולשית עליונה?
 +
:אפשר באמצעות הנלווית (Adj) --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
== שאלה קשה ==
 +
 +
נתון <math>A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^2+B^2=AB</math>, וגם <math>AB-BA</math> הפיכה.
 +
 +
צ"ל ש-n מתחלק ב-3.
 +
: מהנתון נובע ש- <math>\ A^3+B^3=0</math>, מה שמוביל לשער טענה חזקה יותר: אם יש מטריצות ממשיות מסדר n-על-n כך ש-<math>\ A^3+B^3=0</math> ו-<math>AB-BA</math> הפיכה, אז n מתחלק ב-3 (כאן המספר 3 "מוסבר" על-ידי ההנחות). עם זאת, הטענה החזקה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמא <math>\ A = e_{21}-e_{12}-e_{22}, B = e_{21}+e_{22}-e_{12}</math>. [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 17:43, 11 במרץ 2012 (IST)
 +
 +
== עוד שאלה לא סטנדרטית ==
 +
 +
נתבונן באוסף כל המטריצות מגודל סופי מעל שדה נתון.
 +
האם קיימות שתי פעולות שביחס אליהן אוסף זה הוא מרחב וקטורי?
 +
 +
:כן, הסכום של כל שתים וכפל בכל סקלר נותן את מטריצת האפס מגודל אחד על אחד (: --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
::איבר אדיש לחיבור? כפל יחידה?
 +
:::כן, זו לא הייתה הצעה הגיונית כל כך. את הכפל בסקלר אפשר לתקן, אבל אין נייטרלי לחיבור. ובכן, ניתן למצוא העתקה חח"ע ועל מקבוצת כל המטריצות מגודל סופי לשדה וכך להגדיר מ"ו באופן מאולץ משהו. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
::::הסְבֵר? (דרך לא מוצלחת להדגיש את הדו-משמעות של ציווי ושם עצם, כשמתייחסים לצורות ביטוי שונות)
 +
: הדרך הטובה ביותר היא לחשוב על כל מטריצה כאילו היא מוצבת בפינה השמאלית-עליונה במטריצה אינסופית שכולה אפסים. בשיטה הזו מטריצה בגודל 5x5 היא אוטומטית גם מטריצה 6x6 ו-7x7 וכן הלאה, ולכן אפשר לחבר ולהכפיל כל שתי מטריצות (ובוודאי שאפשר להכפיל כל מטריצה בסקלר).
 +
: אם מעוניינים רק במרחב וקטורי, אפילו האוסף של כל המטריצות הוא כזה. אם רוצים אפשרות להכפיל מטריצות, הוא גדול מדי (כפל של שורה בעמודה ידרוש סיכום אינסוף מכפלות, וזה לא מוגדר מעל שדה כללי, ולא מוגדר בדרך כלל אפילו מעל שדות מיוחדים). הפתרון לעיל מסתפק באוסף המטריצות הסופיות. אפשר לדמיין גם מרחבי-ביניים, קצת גדולים יותר, שבהם הכפל עדיין מוגדר היטב. למשל, המטריצות (האינסופיות) שכל שורה שלהן סופית, או אלו שכל עמודה שלהן סופית. ויש עוד הרבה אפשרויות אחרות (מסובכות יותר; מספרן אינו בן-מניה). [[משתמש:עוזי ו.|עוזי ו.]] 19:12, 18 במרץ 2012 (IST)

גרסה אחרונה מ־17:12, 18 במרץ 2012

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

ארכיון

ארכיון 1

ארכיון 2

ארכיון 3

שאלות

אפשר להסביר איפה יהיה השיעור חזרה לא בדיוק הבנתי

תודה(כאילו מה זה חדר המחלקה?)

בנין מתמטיקה, קומה 2, חדר מימין

גרעין

שלום, שאני צריכה להוכיח (ker (T שונה מ <0> (בסוגריים מסולסלות) מספיק שאני מראה שיש איבר בקרנל ששונה מאפס?   תודה.

כן. --מני 10:52, 3 בפברואר 2012 (IST)

הפיכות של מטריצה

אם הוכחתי שכפל AB=I, האם זה מראה שA בהכרח הפיכה? או שמא אני צריך להוכיח גם שBA=I ??

תודה ושבת שלום :)

זה נכון רק עבור מטריצות ריבועיות. --לואי 14:14, 4 בפברואר 2012 (IST)

אבל זאת לא השאלה... לא, לא חייבים, ניתן להניח בשלילה שA אינה הפיכה ואז יוצא שהדט' של A היא 0 ומכאן שהדט' של AB גם 0 ומכיוון ש-AB=I אז הדט של AB חייב להיות שווה לדט' של I שהיא n (טבעי) ולכן יש סתירה --> A הפיכה.

יופי. אבל דטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות! מה שמחזיר אותנו לתשובתי המקורית...--לואי 19:46, 6 בפברואר 2012 (IST)

שאלה ממבחן

תהיו A,B מטריצות מגודל n*n צ"ל: dimcspanAB=dimcspanB-dim(nullA^cspanB התחלתי את הפיתרון בשימוש משפט המימדים ולפני תנאי dimnullA+rankA=n והגעתי לזה rankA>=dimcspan-dim(nullA^cspanB האם זה הכיוון או שממש לא?

שאלה על שדות

עבור שדה כלשהו \mathbb F, האם יש משמעות ל-1/2? כוונתי לאיבר (1_\mathbb F+1_\mathbb F)^-1, כך שיתנהג כמו 1/2. תודה.

לא בהכרח קיים כזה, למשל בשדה ממאפיין 2. מעבר לזה יש לזה שימוש בהוכחות לעיתים, למשל שפונקציה זוגית וגם אי זוגית היא בהכרח פונקצית האפס (שוב, מעל שדה שאינו ממאפיין 2) --ארז שיינר

מבחן ברביעי

מתי יפרסמו שעות ומיקום הבחינה ברביעי?

משפט ההגדרה

גיליתי שהסתבכתי לגמרי עם המשפט הזה (העתקות ליניאריות, כמובן). מה המשפט בדיוק? תודה רבה, אריאל.

המשפט מופיע בעמ' 54 לאחר תרגיל 1.26. אפשר לקרוא אותו ואם יש עליו שאלות ספציפיות אשמח לענות. --מני 20:52, 5 בפברואר 2012 (IST)

מימד מרחב השורות/עמודות

אם מבקשים ממני להוכיח שמימד מרחב השורות והעמודות של מטריצה כלשהי שווים, זה בסדר אם לקחתי פשוט מטריצה כללית כלשהי מגדול mxn, והראתי שאחרי דירוג מתקבלים או עמודות אפס או שורות אפס... פילגתי את המקרים לפי m>n, m<n, m=n. ואז הגעתי למסקנה הדרושה...

האם זוהי הוכחה ? או שיש דרך אחרת שצריך לגשת לתרגיל?

תודה רבה!

לא כ"כ ברור לי האם השאלה כאן היא על הוכחת המשפט הכללי: dim(R(A))=dim(C(A))?

אם כן אז בתרגיל 11.4 בעמ' 48 יש הצעה להוכחת המשפט שנראית די אלגנטית. קצת קשה לי להגיד אם ההוכחה שלך טובה כי היא לא ברורה לי. --מני 20:59, 5 בפברואר 2012 (IST)


אני אנסה להסביר את ההוכחה, כי סתם מעניין אותי להבין למה היא לא תקפה :) לקחתי מטריצה מגודל mxn. מטריצה כללית כמובן בלי שום הגבלות. לאחר מכן דירגתי אותה. ישנם שלוש אפשרויות שונות לדירוג:

m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים.

n<m : ואז יש יותר שורות ולכן יש שורות אפסים.

m=n : ומכאן פשיטא שמדובר בכך ש : dim (r(A)) = dim (c(A)) .

מכאן אנחנו מקבלים סוג של מטריצה שנראת כמו מטריצת הזהות ומתחתיה כמה שורות של אפשים ( או עמודות) ואין הם תורמים לבסיס, לכן הם לא תורמים גם למימד. מכן שהמימד שווה למטריצה היחידה שנוצרת - בעצם כמות העמודות/שורות בת"ל...::

מצטער על הניסוח של ההוכחה, אבל זה נראה לי פשוט מדי, לא כן?


תודה ולילה טוב :)

--Dvir1352 23:04, 5 בפברואר 2012 (IST)

הדירוג שאתה מדבר עליו הוא דירוג שורות או דירוג עמודות? לא ברורה לי הטענה:" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."

למשל במטריצה עם שורה אחת ושתי עמודות (34) יש יותר עמודות משורות והיא מדורגת שורה ואין בה שורות אפסים. --מני 23:11, 5 בפברואר 2012 (IST)


" m<n : ואז יש יותר עמודות ולכן יש שורות אפסים."(התכוונתי יותר עמודות ולכן יש עמודות אפסים) m זה השורות וn העמודות... אם m גדול מn ז"א שאחרי דירוג (דירוג מטריצה עד לקנונית הכוונה) נקבל מצב בו יש (ע"פ הגדרת המטריצה המדורגת קנונית) שורות שבה כמו מן מדרגות יש אחדים ואחר כך אפסים... אם ישנם יותר שורות מעמודות, יהיו שורות אפסים, ושוב מאחר והם לא תורמים למימד מימד השורות שווה למימד העמודות...

סורי על הניסוח הכושל D: תודה רבה! --Dvir1352 23:40, 5 בפברואר 2012 (IST)

אוקיי אני מסכים שבדירוג הקנוני השורות שאינן שורות אפסים מהוות בסיס למרחב השורות. עדיין לא הבנתי איך רואים שמספרן כמספר עמודות הבת"ל. נראה לי שבפורום זה קצת קשה. --מני 00:39, 6 בפברואר 2012 (IST)


טוב, תודה, אנסה להגיע ביום שלישי ולהסביר את טענתי :)

מתכונן למבחן

במבחן הזה[1], שאלה 2 ב'. חשבתי על פתרון ואני לא בטוח אם הוא נכון! בניתי העתקה לינארית ממרחב המטריצות הריבועיות אל F (סקלרים) שהיא העתקה לינארית: [2].

מה שאנחנו צריכים למצוא מהשאלה זה מימד הגרעין של אותה העתקה, ולפי משפט הדרגה הוא שווה למימד של מרחב המט' פחות מימד התמונה. ולכן הוא שווה ל n^2-1.

הפתרון הזה נכון? ובנוסף, יש פתרון קל וקצר יותר?

זה נראה לי הפתרון הקצר ביותר (האמת שקשה לי לחשוב בכלל על פתרון אחר). בכל מקרה חסר משהו בפתרון והוא להראות שמימד התמונה=1. מכיון שהתמונה היא ת"מ של \Bbb R מ"ל שההעתקה אינה העתקת האפס. זה נכון כי P^{-1} מועתקת ל n\neq 0 וזה משלים את ההוכחה.

צריך להשתמש בכך שP הפיכה. --מני 11:24, 6 בפברואר 2012 (IST)

מני, אני מרפרף על כל מני מבחנים, וממש קשה למצוא שאלות ממש קשות, אתה יכול להפנות אותי לכמה?

מצטער. אין לי מאגר סודי של מבחנים. --מני 12:38, 6 בפברואר 2012 (IST)

בקשר למימדים של תתי מרחב

האם לכל שני תתי מרחבים W,V Dim(W)+Dim(V)>=Dim(V+W) ? תודה


אם אני לא טועה זה צריך להיות dim(v+w)=dim(v)+dim(w)-dim(u^w) ...

זה משפט המימדים באופן כללי אני מדבר על כל שני תתי מרחב

אכן אי השוויון מתקיים ואפשר לראות אותו ע"י משפט המימדים.--מני 19:18, 6 בפברואר 2012 (IST)


שאלה מהמבחן

חלק א', שאלה 2: [3] יש מספר דרכים דיי גדול לפתור שאלה זו, יש לי פתרון דיי קצר, אבל אני לא בטוח אם היו מקבלים אותו:

AB=I לכן |AB|=|I|=n מכיוון ו-n טבעי אז הדט' שונה מ-0, ולכן בהכרח |A|\neq 0 וגם |B|\neq 0 אז B הפיכה ולכן קיימת מט' C כך ש- BC=I. נכפול משמאל ב-A: C=IC=ABC=AI=A ויוצא ש- BA=I.

אז זה פתרון שהיה מתקבל במבחן?

אני גם לא בטוח שהיו מקבלים אותו כי לא למדנו דטרמיננטות.

שתי דרכים אופציונליות: א. (סקיצה של הוכחה) אם AB=I ניתן להוכיח ש A אינה שקולת שורה למטריצה עם שורת אפסים בשל השוויון AB=I. כעת הצורה הקנונית של מטריצה ריבועית היא I או שיש בה שורת אפסים (אחת או יותר) לכן לפי הנ"ל הצורה הקנונית של A היא I. לכן קיימת מטריצה הפיכה C (מכפלת מטריצות שורה אלמנטריות) כך ש CA=I. להוכיח שB=C אפשר בדרך שתוארה קודם.

ב.לטובת מי ששאל אותי בשעות קבלה בהקשר של העתקות ליניאריות AB=I גורר ש T_AT_B=I לכן ההעתקה הליניארית T_B חח"ע וההעתקה T_A על אבל שתי העתקות הן מF^n לעצמו ולכן חח"ע שקול לעל. מכאן למשל T_A חח"ע ולכן יש לה גם הופכית שמאלית אבל בדומה להוכחה א ניתן להראות שההופכית הימנית שוה לשמאלית ומכאן T_BT_A=I ולכן BA=I ג. ראינו בכיתה (בשיעור האחרון לפני שיעור החזרה לדעתי) עוד הוכחה באמצעות העתקות ליניאריות. --מני 18:03, 7 בפברואר 2012 (IST)

1)אני כן למדתי דטרמיננטות.

2) כל עוד לא אמרו לי להוכיח דט' מותר להשתמש בכל משפט שקיים, אפילו מאלגברה לינארית 2. (אני זוכר שאיזה מרצה/ מתרגל אמר את זה)

3)אין לי מושג מה "אנחנו למדנו" כי אני למדתי את זה בקיץ ואני עושה מועד ג', אז בבקשה תרחיב.

אני יכול גם במקום זה פשוט לכתוב שבגלל ששורות AB בת"ל וגם F^n=R(AB)\subseteq R(B)\subseteq F^n ולכן שורות B פורשות את המרחב וגם מספרן הוא n ולכן בסיס ולכן בת"ל ולכן B הפיכה.

מבנה המבחן

מה מבנה המבחן האם הוא כמו המבחן של רזניקוב משנה שעברה?

יש 3 שאלות ללא בחירה. --מני 17:51, 7 בפברואר 2012 (IST)

תודה!!! נ.ב כמה זמן זה?

מהחוברת של בועז צבאן: עמוד 42 תרגיל 7.17

צריך להוכיח שקילות בין שני תנאים:

א. B בסיס.

ב. 0_V \in B ...

איך אפשר להוכיח בין שני התנאים? הרי אם 0_V \in B אז B לא בסיס...

זו שאלה שיש בה טעות. פתרנו אותה בתרגול אמור להיות רשום 0 לא שייך לB. --מני 17:50, 7 בפברואר 2012 (IST)

תודה

אורך המבחן

כמה זמן הוא המבחן והאם בשביל תוספת הזמן אני צריך להביא את האישור המקורי או שאפשר העתק?

אני לא בטוח לגבי הזמן. בכל מקרה תשאל את מלי. --מני 19:05, 7 בפברואר 2012 (IST)

מציאת בסיס של קבוצה סופית נפרשת

שלום, במידה ונתונים לי ווקטורים {S = {v1, v2, v3 כאשר מבצעים (Span(S. במידה ורשמתי את הווקטורים הנתונים v1, v2,v3 כעמודות במטריצה ודרגתי (לפי הדירוג שורות הרגיל), (כגון שמראש נתבקשתי לבדוק האם ווקטור כל שהוא נמצא במרחב הנפרש ע"י קבוצה זו שאז אני רושם את הווקטורים כעמודות ואת הווקטור אותו אני בעמודת הפתרונות ובודק האם קיים צירוף ליניארי וכו'). האם ניתן מהמצב המדורג למצוא את הבסיס של המרחב? מקווה שהשאלה ברורה.. תודה!


לאחר דירוג מט' (ששורותיה הם S) מקבלים מט' שכל אחד מוקטורי השורה שלה שווים לצ"ל מסויים (ויחיד) של איברי S כך שהסקלר של אותה מספר השורה שונה מ-0 (u_i=\alpha_1v_1+...+\alpha_iv_i+...+\alpha_nv_n וגם \alpha_i\neq0). בכל מקרה, מה שיוצא לך בשורות לאחר הדירוג הקנוני אלו הם וקטורים בת"ל, לא בהכרח יוצא שהדירוג הקנוני הוא I ולכן לא בהכרח זהו בסיס של המרחב.

אני לא בטוח שהסברתי את עצמי כראוי. כשכתבתי למצוא את הבסיס של המרחב התכוונתי לתת מרחב של F^n אליו שייכים הווקטורים v1-v3; כלומר span של קבוצה תמיד פורש מרחב ווקטורי ולמצוא בסיס הכוונה למצוא קבוצה בת"ל מקסימלית הפורשת את אותו מרחב שה-span של קבוצת הווקטורים הנתונה נותן (יתכן ומרחב זה יהיה חלקי ל- F^n ) במצב כזה מה שידוע לי שניתן לעשות זה לרשום את הווקטורים של הקבוצה הנתונה כווקטורי שורה במטריצה ולדרג, הווקטורים שהתקבלו הם הבסיס של תת המרחב הנפרש ע"י קבוצה זו. השאלת אליה התכוונתי היא, כאשר רשמתי את הווקטורים של הקבוצה הנתונה, כעמודות במטריצה (כגון במצב שתיארתי בשאלה המקורית) ודירגתי (דרוג שורות רגיל), האם אני יכול להסיק על הבסיס של תת המרחב? (כמו שהייתי יכול להסיק אם הייתי רושם את הווקטורים כשורות במטריצה ומדרג). מקווה שעכשיו זה יותר ברור.. תודה!

אם זה עמודות מט', אז זה יעבוד רק אם הם בת"ל, אחרת צריך לשים אותם בשורות המט', זה כי אתה עושה פעולות שורה ולכן צ"ל של הוקטורים.

שאלה ממבחן

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA1_68b.pdf אני מנסה לפתור את סעיף ג'.. חשבתי על כך שבעצם דרוש לנו: ImT=KerR מסעיף קודם קיבלתי ש.. 2 =(dim(kerT כך שלפי דעתי יש בעצם 2 אפשרויות לT ולכן מימד V הוא 2.. שינוי לאן שולחים את שני הוקטורים השייכים לImT.. יש 2 אפשרויות לוקטורים ב-kerT או שיש אפשרות לשלוח את שניהם לאותו וקטור ואז המימד בכלל 4..

אשמח לעזרה איך פותרים!

מכיוון ולכל שתי הע"ל שונות יש מט' מייצגות שונות אז נמצא את המימד של V רק שנחליף את R,T,O ב-[R]^S_S,[T]^S_S,[O]^S_S ואז אם נותנים משתנים לכל איבר במט' המייצגת של T מקבלים שצריך לבחור 8 משתנים מתוך 16=4x4 זאת אומרת DimV=8.

שאלה על המבחן

למה נותנים מבחן שיותר קשה מכל מבחן שנמצא כאן: [4] ובאתר של בועז ורזניקוב? המבחן היה הרבה יותר מדי קשה, פתיר! אבל קשה. מה עליי לעשות/להשיג כדי שיעשו מועד נוסף שיהיה קל בהרבה? אני מרגיש שכל מה שפתרתי לא הכין אותי בכלל למבחן הזה.

היינו שמחים לעזור אבל אנחנו לא הכתובת. מני ולואי

מסכימה עם כל מילה שלך. מבחן קשה מאוד. אנחנו חייבים להפנות את הטענות שלנו לאוזניים הנכונות בתקווה למצוא איזשהו פתרון.

האם יש סיכוי לפקטור או משהו בסגנון?

תוכלו להעלות את המבחן?

המבחן היה שאלון סגור...
אז מתרגלים?
אין לנו את המבחן. אני מניח שהמרצה יעלה את המבחן עם הפתרונות בימים הקרובים. --מני 00:33, 12 בפברואר 2012 (IST)

מטריצה הופכית של משולשית עליונה

איך מראים שגם היא משולשית עליונה?

אפשר באמצעות הנלווית (Adj) --ארז שיינר

שאלה קשה

נתון A,B \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^2+B^2=AB, וגם AB-BA הפיכה.

צ"ל ש-n מתחלק ב-3.

מהנתון נובע ש- \ A^3+B^3=0, מה שמוביל לשער טענה חזקה יותר: אם יש מטריצות ממשיות מסדר n-על-n כך ש-\ A^3+B^3=0 ו-AB-BA הפיכה, אז n מתחלק ב-3 (כאן המספר 3 "מוסבר" על-ידי ההנחות). עם זאת, הטענה החזקה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמא \ A = e_{21}-e_{12}-e_{22}, B = e_{21}+e_{22}-e_{12}. עוזי ו. 17:43, 11 במרץ 2012 (IST)

עוד שאלה לא סטנדרטית

נתבונן באוסף כל המטריצות מגודל סופי מעל שדה נתון. האם קיימות שתי פעולות שביחס אליהן אוסף זה הוא מרחב וקטורי?

כן, הסכום של כל שתים וכפל בכל סקלר נותן את מטריצת האפס מגודל אחד על אחד (: --ארז שיינר
איבר אדיש לחיבור? כפל יחידה?
כן, זו לא הייתה הצעה הגיונית כל כך. את הכפל בסקלר אפשר לתקן, אבל אין נייטרלי לחיבור. ובכן, ניתן למצוא העתקה חח"ע ועל מקבוצת כל המטריצות מגודל סופי לשדה וכך להגדיר מ"ו באופן מאולץ משהו. --ארז שיינר
הסְבֵר? (דרך לא מוצלחת להדגיש את הדו-משמעות של ציווי ושם עצם, כשמתייחסים לצורות ביטוי שונות)
הדרך הטובה ביותר היא לחשוב על כל מטריצה כאילו היא מוצבת בפינה השמאלית-עליונה במטריצה אינסופית שכולה אפסים. בשיטה הזו מטריצה בגודל 5x5 היא אוטומטית גם מטריצה 6x6 ו-7x7 וכן הלאה, ולכן אפשר לחבר ולהכפיל כל שתי מטריצות (ובוודאי שאפשר להכפיל כל מטריצה בסקלר).
אם מעוניינים רק במרחב וקטורי, אפילו האוסף של כל המטריצות הוא כזה. אם רוצים אפשרות להכפיל מטריצות, הוא גדול מדי (כפל של שורה בעמודה ידרוש סיכום אינסוף מכפלות, וזה לא מוגדר מעל שדה כללי, ולא מוגדר בדרך כלל אפילו מעל שדות מיוחדים). הפתרון לעיל מסתפק באוסף המטריצות הסופיות. אפשר לדמיין גם מרחבי-ביניים, קצת גדולים יותר, שבהם הכפל עדיין מוגדר היטב. למשל, המטריצות (האינסופיות) שכל שורה שלהן סופית, או אלו שכל עמודה שלהן סופית. ויש עוד הרבה אפשרויות אחרות (מסובכות יותר; מספרן אינו בן-מניה). עוזי ו. 19:12, 18 במרץ 2012 (IST)
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-112_לינארית_1_סמסטר_א_תשעב&oldid=20613