הבדלים בין גרסאות בדף "תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏האוניברסיטה העברית)
(←‏תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח)
 
(184 גרסאות ביניים של 11 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
=תחרות חנוכה, לינארית 2 תשע"ב: שאלות ממבחנים, בנושא צורת ג'ורדן, עם פתרונות=
+
תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.
 +
 
 +
'''דירוג סופי - היכל התהילה:'''
 +
 
 +
הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון.
 +
מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]]
 +
 
 +
1. עמנואל סגל (11)
 +
 
 +
2. אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6.5)
 +
 
 +
3. נעם ליפשיץ (3.5) - לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.
 +
 
 +
4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5)
 +
 
 +
5. נוי מאור (1)
 +
 
 +
כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות! אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...
 +
 
  
 
==הנחיות==
 
==הנחיות==
שורה 23: שורה 41:
 
'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.
 
'''שיתוף פעולה''': תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.
  
−
'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת לא יזכו בניקוד.
+
'''שבת מנוחה:''' כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.
  
 
5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
 
5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון.
שורה 32: שורה 50:
 
6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
 
6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את
 
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
 
הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש
−
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי.
+
בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. '''נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).'''
  
 
7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
 
7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה.
 
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!
 
בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו ל'''כבוד''' רב!
 +
 +
* לנוחיותכם, להלן '''תבנית להעלאת שאלה'''. השלבים:
 +
 +
א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".
 +
 +
ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.
 +
 +
ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.
 +
 +
ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).
 +
 +
זה הכל.
 +
 +
===תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)===
 +
 +
להכניס כאן את השאלה.
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' ???, תש??, מועד ?, שאלה ?|פתרון (שם הפותר)]]
 +
 +
==אוניברסיטת בר-אילן==
 +
 +
===???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח===
 +
א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי.
 +
ב. מצא צורת ג'ורדן של <math>A=\begin{pmatrix}
 +
2&2  &-1 \\
 +
0 &-1  &2 \\
 +
0 &-6  &6
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
[[פתרון 6 (אלעד איטח)]]
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).
 +
 +
===תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח===
 +
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
 +
2 &1  &0&0 \\
 +
0 &2  &0  &0 \\
 +
0 &0  &2  &0 \\
 +
0 &0  &0  &5
 +
\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}
 +
</math>
 +
 +
<math>V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}</math> יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים
 +
המתאימים לע"ע <math>\lambda</math>. אזי:
 +
 +
א. <math>dim(V_{2})+dim(V_{5})=3</math>
 +
 +
ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.
 +
 +
ג. <math>dim(V_{2})=3</math>
 +
 +
ד. <math>V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}</math>
 +
 +
 +
[[פתרון 5 (אלעד איטח)]]
 +
 +
קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf
 +
 +
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ===
 +
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 &1  &1 \\
 +
0 &1  &1 \\
 +
0 &0  &2
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
א. מצא את הפולינום האופייני של A.
 +
ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A.
 +
ג. מצא את הערכים העצמיים של A.
 +
ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב').
 +
ה. מצא צורת ג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').
 +
 +
[[פתרון 4 (אלעד איטח)|פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)]]
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf
 +
 +
===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ===
 +
 +
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות <math>A</math> ו <math>B</math> דומות.
 +
 +
[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)]]
 +
 +
* עד כאן בדקתי ותיקנתי, פחות או יותר. [[משתמש:Tsaban|בועז צבאן]] 01:10, 9 בינואר 2012 (IST)
 +
 +
===תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר) - עמנואל סגל===
 +
מצא צורת ג'ורדן ל- <math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 & 1 & 1\\
 +
0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>.
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"א, מועד ב, שאלה 4 |פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 +
===תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין) - עמנואל סגל===
 +
 +
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא <math>p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)</math>.
 +
 +
א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.
 +
 +
ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של <math>T</math> הוא <math>m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)</math>, מהו
 +
מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>?
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מועד א, שאלה 5|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 +
===תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן) - עמנואל סגל===
 +
 +
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{8\times 8}</math> שהפ"א שלה הוא <math>(t-1)^{4}(t-2)^{4}</math> והפ"מ שלה הוא <math>(t-1)^{2}(t-2)</math>. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד ב, שאלה 2|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 +
===תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן) - עמנואל סגל===
 +
 +
נתבונן במטריצה
 +
<math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 & 1 & 1\\
 +
0&1  &0 \\
 +
0 & 0 & 1
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשס"ב, מועד א, שאלה 6|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 +
===תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) - נפתלי וקסמן===
 +
 +
יהי <math>T</math> אופרטור לינארי עם פולינום אופייני <math>f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)</math>
 +
 +
מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור <math>T</math>.
 +
 +
אם נתון כי <math>m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)</math> אז מצא את מס' הצורות האפשריות.
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
 +
 +
===תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ===
 +
 +
הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: <math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 &1  &1 \\
 +
1 &1  &1 \\
 +
1 & 1 & 1
 +
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
 +
3 &0  & 0\\
 +
0 & 0 &0 \\
 +
0&0  & 0
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1|פתרון (נפתלי)]]
 +
 +
פתרון יותר יפה
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תש"ע, מועד ב', שאלה 1'|פתרון (נעם)]]
 +
 +
===תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן===
 +
 +
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
 +
0 &0  &1  &0 \\
 +
0 & 0 &0  & 1\\
 +
1& 0 &0  &-2 \\
 +
0& 1 & 2 &0
 +
\end{pmatrix}</math> קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.
 +
 +
א. מעל <math>\mathbb{R}</math> ב. מעל  <math>\mathbb{C}</math>
 +
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' בר אילן, תשע"א, מועד ב', שאלה 3|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
 +
 +
השלם את ההוכחה
  
 
==האוניברסיטה העברית==
 
==האוניברסיטה העברית==
 +
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח===
 +
תהי <math>A=\begin{pmatrix}
 +
3 &1  &0 \\
 +
0 &2  &0 \\
 +
0 &0  &2
 +
\end{pmatrix}
 +
</math> אזי:
 +
 +
א. A מטריצה בצורת ג'ורדן.
 +
 +
ב. A לכסינה.
 +
 +
ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.
 +
 +
ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.
 +
 +
[[פתרון 8 (אלעד איטח)]]
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf
 +
 +
===תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח===
 +
 +
תהי <math>T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}</math> מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י:
 +
<math>A=\begin{pmatrix}
 +
4 &1  &0  &0 \\
 +
0 &4  &0  &0 \\
 +
0 &0  &4  &0 \\
 +
0 &0  &0  &1
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
 +
א. מהם הע"ע של T?
 +
 +
ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?
 +
 +
[[פתרון 7 (אלעד איטח)]]
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf
 +
 +
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח===
 +
 +
תהי <math>T</math> ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי.
 +
<math>Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})</math> מי מהטענות הבאות נכונה?
 +
 +
1. <math>T^{3}=0</math>
 +
 +
2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.
 +
 +
3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.
 +
 +
4.<math>T^{3}\neq 0</math>
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
 +
 +
[[פתרון 3 (אלעד איטח)]]
 +
 +
===תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח===
 +
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית <math>A=\begin{pmatrix}
 +
5 & 2 & 1\\
 +
0 & 5 & -2\\
 +
0 & 0 & 5
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf
 +
 +
[[פתרון 2(אלעד איטח)]]
 +
 +
=== תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח===
 +
מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה
 +
<math>\begin{pmatrix}
 +
1 & 0 & 1\\
 +
0 & 1 & 0\\
 +
0& 0 & 1
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
מעל שדה המרוכבים
 +
 +
קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf
 +
 +
[[פתרון (אלעד איטח)]]
  
−
===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===
+
===תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן===
  
 
נתונות המטריצות  
 
נתונות המטריצות  
שורה 64: שורה 327:
 
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
 
האם הן דומות? הוכח את טענתך.
  
−
[[מדיה:Targil.jpg]] (נפתלי)
+
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
  
−
נפתלי, כתוב כאן הפתרון שלך כדי לקבל את הניקוד (ב.צ.):
+
תפרט את החישובים
−
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד ב, שאלה 4|פתרון]]
+
  
−
===תשסט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק)===
+
===תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - אוהד קליין===
  
 
נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
 
נתונה המטר': <math>A=\begin{pmatrix}
שורה 78: שורה 340:
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
  
−
א) מצא את צורת ז'ורדן של A
+
א) מצא את צורת ג'ורדן של A
  
 
ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.
 
ב) מצא P הפיכה כך ש <math>P^{-1}AP</math> היא צורת זורדן של A.
שורה 86: שורה 348:
 
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]
 
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון (אוהד קליין)]]
  
−
'''הערה:''' מי שיוסיף, בקישור הבא, פתרון סטנדרטי יותר לפי החוברת בנושא משפט ג'ורדן שהעליתי לאתר הקורס, יזכה גם הוא בנקודה על שאלה זו. (בועז)
+
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע) - אופיר שפיגלמן===
  
−
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשסט, מועד א, שאלה 4|פתרון סטנדרטי (מי זוכה?)]]
+
'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{n \times n}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.
−
 
+
−
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 11===
+
−
 
+
−
'''שאלה:''' תהי <math>A\in \mathbb{C}^{nxn}</math>. הוכיחו כי <math>A\sim A^{t}</math>.
+
  
 
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]
 
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 11|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]
  
−
אופיר - כדי לזכות בניקוד על השאלה, עליך:
+
===תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע) - אוהד קליין===
−
א. לכתוב את שמות המרצים בכותרת, כמו בדוגמאות לעיל.
+
−
ב. להשתמש בסימונים מתמטיים ולא אד-הוק (למשל, לא <math>nxn</math> אלא <math>n\times n</math>).
+
−
את הסימונים תוכל למצוא בקישור שבהנחיות, וכן על ידי חיפוש בגוגל של "tex symbols".
+
−
(ב.צ.)
+
−
 
+
−
 
+
−
===תשס"ד, סמסטר ב, מועד ב, שאלה 11 (פרופ' סלע + ד"ר איזנברג)===
+
  
 
השאלה:
 
השאלה:
 +
 
תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
 
תהי <math>A \in M_n(C)</math> המטר' הבאה: <math>A=\begin{pmatrix}
 
0 & 0 & ... & 0 & 1\\  
 
0 & 0 & ... & 0 & 1\\  
שורה 113: שורה 365:
 
0 & 0 & ... & 1 & 0
 
0 & 0 & ... & 1 & 0
 
\end{pmatrix}</math>
 
\end{pmatrix}</math>
−
מצא את צורת הז'ורדן שלה.
+
. מצא את צורת הג'ורדן שלה.
  
 
מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]
 
מקור: [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2004_2_2_1.pdf]
  
−
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 | פתרון (אוהד קליין)]
+
[http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%AA%D7%A9%D7%A1%D7%93,%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%91,_%D7%9E%D7%95%D7%A2%D7%93_%D7%91,_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94_11 פתרון (אוהד קליין)]
  
−
==אוניברסיטת בר-אילן==
+
===תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
מצא צורת ג'ורדן ל-<math>A=\begin{pmatrix}
 +
2&1  & 0 & 0\\
 +
0& 2 & 1 &0 \\
 +
0 &  0& 2 & 1\\
 +
1 & 0 & 0 & 2
 +
\end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}</math>
 +
 
 +
[[העברית, תשס"ה, מועד ב', שאלה 10|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
===תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר) - נפתלי,עמנואל,בועז===
 +
 
 +
אלו מבין המטריצות הבאות דומות?
 +
 
 +
<math>A=\begin{pmatrix}
 +
2 &8 \\
 +
2 &2
 +
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
 +
2 &0 \\
 +
2 &2
 +
\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}
 +
2 &4 \\
 +
4 &2
 +
\end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix}
 +
6 &0 \\
 +
0 &-2
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ח, מועד ב, שאלה 5|פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)]]
 +
 
 +
===תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן===
 +
 
 +
כל שתי מטריצות <math>A,B\epsilon M_{n}C</math> שמקיימות
 +
 
 +
<math>f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)</math>
 +
 
 +
<math>m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)</math>
 +
 
 +
הן דומות.
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ט, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
 +
 
 +
===תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע) - נפתלי וקסמן===
 +
 
 +
מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 &0  & 0 &0 \\
 +
4 & 2 &0 & 0\\
 +
7 & 5 & 3 & 0\\
 +
9 &8  & 6 & 2
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 10|פתרון (נפתלי וקסמן)]]
 +
 
 +
===תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
תהיינה <math>A,B\in M_n(F)</math>, ונניח של-<math>A</math> יש <math>n</math> ע"ע שונים ב-<math>F</math>. הוכח/הפרך: אם ל<math>A,B</math> אותו פ"א אז הן דומות.
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"א, מועד ב, שאלה 7|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית
 +
 
 +
===תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
תהיינה
 +
<math>A=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 &0  & 0\\
 +
0& 0 &0  &0 \\
 +
0 & 0 &  0&1 \\
 +
0& 0 &0  &0 \\
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
,
 +
<math>B=\begin{pmatrix}
 +
0 & 1 &0  & 0\\
 +
0& 0 &1  &0 \\
 +
0 & 0 &  0&0 \\
 +
0& 0 &0  &0 \\
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
ענו נכון/לא נכון:
 +
 
 +
א)<math>A</math> דומה ל <math>B</math>
 +
 
 +
ב)<math>dimkerA=dimkerB</math>.
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ב, מועד ב, שאלה 3|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
===תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.
 +
 
 +
(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)
 +
 
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ג, מועד ב, שאלה 1 בחלק III|פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
 
 +
===תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
מצא את צורת ג'ורדן של <math>\begin{pmatrix}
 +
5 & 0 & 0 &0 \\
 +
1& 4 & 0 & 0\\
 +
2& 3& 3 &0 \\
 +
4 & 5 &6  & 3
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>.
 +
 
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ד, מועד א, שאלה 11 |פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
 
 +
===תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל===
 +
 
 +
תהי <math>A \in \mathbb{C} ^{n \times n}</math>.
 +
 
 +
הוכיחו כי צורת ג'ורדן של <math>A</math> היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9 |פתרון (עמנואל סגל)]]
 +
 
 +
==אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)==
 +
 
 +
בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך
 +
[http://www.math.kent.edu/~white/qual/list/linalg.pdf בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט]
 +
 
 +
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) - נטע צדוק===
 +
 
 +
תהי מטריצה <math>A</math> בעלת הפולינום האופייני: <math>P_A(x)=(x-3)^5</math> והפולינום המינימלי: <math>M_A(x)=(x-3)^3</math>.
 +
 
 +
א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.
 +
 
 +
ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:
 +
 
 +
<math>A = \begin{bmatrix}
 +
3 & -1 & 2 & 0 & 0\\
 +
2 & 3 & 0 & -2 & 0\\
 +
1 &  0&  3&  -1& 0\\
 +
0 &  -1&  2&  3& 0\\
 +
0 &  2&  -3&  0& 3
 +
\end{bmatrix}</math>
 +
 
 +
לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 22|פתרון (נטע צדוק)]]
 +
 
 +
 
 +
 
 +
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק===
 +
 
 +
מצא את כל צורות ג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!
 +
 
 +
א. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2</math> והפולינום המינימלי שלו הוא: <math>M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2</math>
 +
 
 +
ב. אופרטור לינארי <math>T</math> שהפולינום האופייני שלו הוא: <math>P_T(x)=(x-4)^5</math> ונתון גם ש: <math>dim(ker(T-4I))=3</math>
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 21|פתרון (נטע צדוק)]]
 +
 
 +
 
 +
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ===
 +
הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש <math>B^{2}=A</math> 
 +
[[שורש של מטריצה הפיכה| (פתרון: נעם ליפשיץ)]]
 +
 
 +
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ===
 +
נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים.
 +
 
 +
הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא <math>(x+1)^{2}</math> והפולינום האופייני של B הוא <math>x^{5}</math>
 +
 
 +
אז <math>B^{3}=0</math>
 +
 
 +
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, יוני 2010, שאלה 13|פתרון (נעם ליפשיץ)]]
 +
 
 +
===יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור===
 +
 
 +
תהיינה
 +
 
 +
A=<math>\begin{pmatrix}
 +
2 & 0 & 0 & 0\\
 +
0 & 1 & 0 & 0\\
 +
2 & 0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 0 & 1
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
B=<math>\begin{pmatrix}
 +
2 & 0 & 0 & 0\\
 +
0 & 1 & 0 & 0\\
 +
2 & 0 & 1 & 1\\
 +
0 & 0 & 0 & 1
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
C=<math>\begin{pmatrix}
 +
2 & -1 & 1 & -1\\
 +
0 & 1 & 1 & -1\\
 +
0 & -1 & 3 & -1\\
 +
0 & 0 & 0 & 2
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 
 +
 
 +
א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות
 +
 
 +
ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות
  
−
===תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי)===
+
ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות
  
−
נניח שלמטריצות <math>A,B\in \mathbb{C}^{3x3}</math> יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.
+
ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות
  
−
[[פתרון ליניארית 2, אונ' בר אילן, תשעא, מועד א', שאלה 4|פתרון (אופיר שפיגלמן)]]
+
ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות
  
−
==אוניברסיטת ת"א==
+
[[פתרון לינארית 2, אונ' קנט, 2010, יוני, שאלה 25|פתרון (נוי מאור)]]

גרסה אחרונה מ־09:46, 15 בינואר 2012

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

דירוג סופי - היכל התהילה:

הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון. מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל. בועז צבאן

1. עמנואל סגל (11)

2. אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6.5)

3. נעם ליפשיץ (3.5) - לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.

4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5)

5. נוי מאור (1)

כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות! אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...


תוכן עניינים

הנחיות

0. קרא בעיון את החוברת על משפט ג'ורדן, כולל התירגול בסוף. פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן. למשל, יש בחינות במאגר הבחינות של ד"ר צבאן.

2. אם המבחן שמצאת אינו במאגר הבחינות של ד"ר צבאן, שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר טרם נכתבה להלן. כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון, לפי הדוגמאות להלן. אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות. בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו. (תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

שיתוף פעולה: תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

שבת מנוחה: כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון. צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד לא העליתם את הפתרון בויקי. לעזרה ראה: איך כותבים בויקי.

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה. בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו לכבוד רב!

  • לנוחיותכם, להלן תבנית להעלאת שאלה. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)

להכניס כאן את השאלה.

פתרון (שם הפותר)

אוניברסיטת בר-אילן

???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח

א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי. ב. מצא צורת ג'ורדן של A=\begin{pmatrix} 2&2 &-1 \\ 0 &-1 &2 \\ 0 &-6 &6 \end{pmatrix}

פתרון 6 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח

תהי A=\begin{pmatrix} 2 &1 &0&0 \\ 0 &2 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &5 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}

V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4} יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים המתאימים לע"ע \lambda. אזי:

א. dim(V_{2})+dim(V_{5})=3

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. dim(V_{2})=3

ד. V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}


פתרון 5 (אלעד איטח)

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ

תהי A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}

א. מצא את הפולינום האופייני של A. ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A. ג. מצא את הערכים העצמיים של A. ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב'). ה. מצא צורת ג'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ

נניח שלמטריצות A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3} יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A ו B דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)

  • עד כאן בדקתי ותיקנתי, פחות או יותר. בועז צבאן 01:10, 9 בינואר 2012 (IST)

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר) - עמנואל סגל

מצא צורת ג'ורדן ל- A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

פתרון (עמנואל סגל)

תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין) - עמנואל סגל

יהי T אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2).

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור T.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של T הוא m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2), מהו מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור T?

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן) - עמנואל סגל

תהי A\in\mathbb{C}^{8\times 8} שהפ"א שלה הוא (t-1)^{4}(t-2)^{4} והפ"מ שלה הוא (t-1)^{2}(t-2). נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן) - עמנואל סגל

נתבונן במטריצה A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

פתרון (עמנואל סגל)

תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) - נפתלי וקסמן

יהי T אופרטור לינארי עם פולינום אופייני f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור T.

אם נתון כי m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2) אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

פתרון (נפתלי וקסמן)

תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &0 & 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{pmatrix}

פתרון (נפתלי)

פתרון יותר יפה פתרון (נעם)

תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן

תהי A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix} קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל \mathbb{R} ב. מעל \mathbb{C}

פתרון (נפתלי וקסמן)

השלם את ההוכחה

האוניברסיטה העברית

תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח

תהי A=\begin{pmatrix} 3 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix} אזי:

א. A מטריצה בצורת ג'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

פתרון 8 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf

תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח

תהי T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4} מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י: A=\begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 \\ 0 &4 &0 &0 \\ 0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

פתרון 7 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח

תהי T ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי. Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3}) מי מהטענות הבאות נכונה?

1. T^{3}=0

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.T^{3}\neq 0

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 3 (אלעד איטח)

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 2(אלעד איטח)

תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

פתרון (אלעד איטח)

תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן

נתונות המטריצות

A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

פתרון (נפתלי וקסמן)

תפרט את החישובים

תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - אוהד קליין

נתונה המטר': A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש P^{-1}AP היא צורת זורדן של A.

מקור: [1]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע) - אופיר שפיגלמן

שאלה: תהי A\in \mathbb{C}^{n \times n}. הוכיחו כי A\sim A^{t}.

פתרון (אופיר שפיגלמן)

תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע) - אוהד קליין

השאלה:

תהי A \in M_n(C) המטר' הבאה: A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix} . מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [2]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל

מצא צורת ג'ורדן ל-A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר) - נפתלי,עמנואל,בועז

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}

פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)

תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן

כל שתי מטריצות A,B\epsilon M_{n}C שמקיימות

f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)

m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)

הן דומות.

פתרון (נפתלי וקסמן)

תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע) - נפתלי וקסמן

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix}

פתרון (נפתלי וקסמן)

תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל

תהיינה A,B\in M_n(F), ונניח של-A יש n ע"ע שונים ב-F. הוכח/הפרך: אם לA,B אותו פ"א אז הן דומות.

פתרון (עמנואל סגל)

לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית

תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל

תהיינה A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}


ענו נכון/לא נכון:

א)A דומה ל B

ב)dimkerA=dimkerB.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט) - עמנואל סגל

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)


פתרון (עמנואל סגל)


תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל

מצא את צורת ג'ורדן של \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3 \end{pmatrix} .


פתרון (עמנואל סגל)


תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל

תהי A \in \mathbb{C} ^{n \times n}.

הוכיחו כי צורת ג'ורדן של A היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

פתרון (עמנואל סגל)

אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) - נטע צדוק

תהי מטריצה A בעלת הפולינום האופייני: P_A(x)=(x-3)^5 והפולינום המינימלי: M_A(x)=(x-3)^3.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3 \end{bmatrix}

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

פתרון (נטע צדוק)


יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק

מצא את כל צורות ג'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!

א. אופרטור לינארי T שהפולינום האופייני שלו הוא: P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2 והפולינום המינימלי שלו הוא: M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2

ב. אופרטור לינארי T שהפולינום האופייני שלו הוא: P_T(x)=(x-4)^5 ונתון גם ש: dim(ker(T-4I))=3

פתרון (נטע צדוק)


יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ

הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש B^{2}=A (פתרון: נעם ליפשיץ)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ

נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים.

הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא (x+1)^{2} והפולינום האופייני של B הוא x^{5}

אז B^{3}=0

פתרון (נעם ליפשיץ)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור

תהיינה

A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

B=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

C=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}


א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות

ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות

ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות

ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות

ה. מצא את צורת הג'ורדן של המטריצות

פתרון (נוי מאור)

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=תחרות_חנוכה_לינארית_2_תשעב&oldid=18455