הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעב"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6)
(←‏נורמת אינסוף)
 
(76 גרסאות ביניים של 18 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 178: שורה 178:
  
 
מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]
 
מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]
 +
:(איפה כאן הוכחת את קושי-שוורץ? )
 +
 +
בשורה הראשונה [אפשר להכפיל במכנה החיובי]
  
 
== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==
 
== איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6? ==
שורה 217: שורה 220:
 
מתי הוא אמר את זה?
 
מתי הוא אמר את זה?
 
:"נסיים בציטוט שלא היה". קרא היטב. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]
 
:"נסיים בציטוט שלא היה". קרא היטב. --[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]
 +
 +
חחחחחחח באמת חשבת שנתניהו אמר את זה?? :)
  
 
== לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6 ==
 
== לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6 ==
שורה 226: שורה 231:
 
:<math>M=AB, BA = 0</math>
 
:<math>M=AB, BA = 0</math>
  
−
:ולכן <math>M^{2}=ABAB = A0B = 0</math>
+
:ולכן <math>M^{2}=ABAB = A0B = 0</math>   כי כבר הוכחנו שיש אסוציאטיביות בכפל מטר'
  
 
האם כדי להוכיח שעבור ערכים כלשהם המטריצה לכסינה, מספיק לדרוש לאחר שראיתי שהיא מתפרקת לגורמים לינאריים, שמספר הערכים העצמיים השונים הוא כמימד מטריצה, או שצריך להראות בהקשדר של וקטורים עצמיים?
 
האם כדי להוכיח שעבור ערכים כלשהם המטריצה לכסינה, מספיק לדרוש לאחר שראיתי שהיא מתפרקת לגורמים לינאריים, שמספר הערכים העצמיים השונים הוא כמימד מטריצה, או שצריך להראות בהקשדר של וקטורים עצמיים?
  
 
:כן [ואתה לא משתמש במונחים נכון]
 
:כן [ואתה לא משתמש במונחים נכון]
 +
  
 
האם כשיש לי שאלה חדשה, אני צריך לכתוב אותה בנושא חדש במקום סתם לשים בשאלה האחרונה? אתם פשוט לא לומדים =.=
 
האם כשיש לי שאלה חדשה, אני צריך לכתוב אותה בנושא חדש במקום סתם לשים בשאלה האחרונה? אתם פשוט לא לומדים =.=
שורה 236: שורה 242:
  
 
:תפתח שאלה חדשה י'מעצבן... [בא לי למחוק את השאלה שלך]
 
:תפתח שאלה חדשה י'מעצבן... [בא לי למחוק את השאלה שלך]
 +
 +
== אוסף בעיות שניתקלתי בהן ולא הצלחתי לפתור ==
 +
 +
-תהיינה <math>N1</math>,<math>N2</math> מטריצות מסדר 3x3 (מעל אותו שדה, כמובן). צריך להוכיח: המטריצות דומות אמ"ם יש להן אותו פולינום מינימאלי.
 +
 +
-השתמש בתוצאה של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא:
 +
תהיינה A,B מטריצות מסדר <math>nxn</math> מעל אותו שדה בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ואותו פולינום מינימאלי. הוכח: אם אף <math>a_i</math> אינו גדול מ3 אז, A דומה לB.
 +
 +
-אם A מט' מסדר nxn בעלת פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> מהו <math>tr(A)</math>?
 +
:הוכחנו טענה על מקדמי הפ״א. דרך קלה יותר היא לזכור שtr של מטריצות דומות הוא זהה, ולכן מספיק לחשב עבור צורת ז׳ורדן, לפי המשפט על המעריכים בפ״א.
 +
 +
- תהיינה A,B מט' נילפוטנטיות מסדר 6x6 בעלות אותו פולינום מינימאלי ואותו מרחב אפס. צריך להוכיח שהן דומות ושהדבר לא נכון עבור מטריצות נילפוטנטיות מסדר 7x7.
 +
 +
- השתמש בפתרון של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא: A,B מטריצות מסדר nxn בעלות אותו פ"א <math>f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k}</math> ופולינום מינימאלי. נניח גם שלכל i הממידים של מרחבי האפס של המטריצות <math>(A-c_iI)</math> ,<math>(B-c_iI)</math> שווים. אם אף <math>d_i</math> אינו גדול מ6, אז A ו-B דומות.
 +
 +
-יהי <math>n\geq2</math> טבעי ותהי מט' A מסדר nxn ונילפוטנטית מסדר n (כלומר <math>A^n=0</math> אבל <math>A^{n-1}\neq0</math>). הוכח שאין מטריצה B מסדר nxn המקיימת <math>B^2=A</math>.
 +
 +
:B^2n=0 אבל B^(2n-2) != 0 הוכחנו כבר שאינדקס נילפוטנטיות של מטר' קטן או שווה ל n, משמע נקבל 2n-1<=n ולכן n<=1 בסתירה לנתון.
 +
 +
== כמה שאלות: ==
 +
 +
1. בפיתרון של תרגיל 6 שאלה 7 השתמשו במשפט "מספר בלוקי ג'ורדן מגודל 3 הוא <math>\rho (A^2) - 2 \rho (A^3) + \rho (A^4)</math> ". מתי למדנו את המשפט הזה? מותר להשתמש בו? אם לא, איך כן פותרים את התרגיל הזה?
 +
 +
2. אם נתון לי ש- <math>A = A_1\oplus A_2\oplus ... \oplus A_k</math>, אז אני יכול לומר ש- <math>A^s = A_1^s\oplus A_2^s\oplus ... \oplus A_k^s </math> ?
 +
 +
3. אם מבקשים ממני לשלש מטריצה, אני יכול להעביר לצורת ג'ורדן (כי הרי היא משולשית)?
 +
 +
:1) בקבוצה של יפית למדנו את זה
 +
 +
:2) זה נובע ישירות מכפל מטריצת בלוקים באינדוקציה.
 +
 +
== מטריצה משלשת ומג'רדנת ==
 +
 +
האם אני יכול להשתמש באלגוריתם למציאת מטריצה משלשת במקום האלגוריתם למציאת מטריצה מג'רדנת?
 +
 +
 +
 +
זה שני דברים שונים, אם מבקשים למצוא מט' משלשת אז ניתן להשתמש בכל אחד משני האלגוריתמים. אבל אם מבקשים מט' מג'רדנת אז לא בטוח שהמטריצה המשלשת תג'רדן את המט'. (כל מט' מג'רדנת היא גם משלשת אבל לא כל מט' משלשת היא גם מג'רדנת)
 +
 +
== מה זה בעצם בסיס סטנדרטי? ==
 +
 +
1) מה מייחד את הבסיסים הסטנדרטיים מסתם בא״נ?
 +
 +
2) איך מגדירים במדוייק בסיס סטנ׳?
 +
 +
3) האם לכל מרחב וקטורי קיים בסיס סטנ׳?
 +
 +
 +
אני חושב שדיברנו עליו רק במסגרת דיונים על <math>F^{n}</math> שנפרש מעל <math>F</math> ואז כמובן <math>e_i</math> הוא וקטור שרכיביו הם אפסים חוץ מהמיקום ה i שם יש את איבר היחידה. [כאשר הבסיס הסטנד' הוא <math>{e_1,...,e_n}</math>]
 +
 +
 +
בא"נ זה בסיס אורתוגונלי (כל וקטור מאונך לכל האחרים) ונורמלי (המכפלה הפנימית של וקטור בעצמו היא 1) ובסיס סטנדרטי זה עוד מלינארית 1, בסיס שכל וקטור (v) ששייך למרחב הנפרש, וקטור הקואורדינטות לפי בסיס זה הוא בדיוק הוקטור(v). כנס לתמונה הזאת:[http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C%5CS%3D%5Cleft%20%5C%7Bv_1%2C...%2Cv_n%20%5Cright%20%5C%7D%20%5C%5CdimV%3Dn%20%5C%5CV%3Dspan%28v_1%2C...%2Cv_n%29%20%5C%5C%28v%5Cepsilon%20V%2C%5Calpha%20_i%5Cepsilon%20F%29%5C%3A%20%5C%3A%20v%3D%5Calpha%20_1v_1&plus;...&plus;%5Calpha%20_nv_n%20%5C%5C%5Cleft%20%5Bv%20%5Cright%20%5D_S%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Calpha%20_1%20%5C%5C%20.%20%5C%5C%20.%20%5C%5C%20.%20%5C%5C%20%5Calpha%20_n%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3Dv]. (S-בסיס סטדרטי, v בסוף בסוף יוצא וקטור עמודה רק.)
 +
 +
== תר' 7 שאלה 3, מציאת מטריצה מז'רדנת ==
 +
 +
האם הפתרון שהועלה לתרגיל 7 שאלה 3 הוא לפי השיטה שלנו?
 +
בכלל לא עושים שם חיתוכים ומרחב עמודות...
 +
 +
2)מותר להשתמש בזה במבחן?
 +
 +
זה בדיוק אותו הדבר... רק בכתיבה שונה. זה לא ממש משנה. (ker זה כמו מרחב האפס של מטריצה, רק בהעתקות לינאריות. ושאר מה שכתוב שם ניתן למצוא הסבר במשפט ג'ורדן: הסיפור המלא[http://math-wiki.com/images/a/a2/JordanAll.pdf])
 +
 +
== הבוחן ==
 +
 +
אני לא מבינה. גם הבוחן באינפי וגם הבוחן בלינארית הם ביום חמישי בשעה 6 ? איך זה הגיוני ?
 +
 +
הגיוני. איפה הסתירה הלוגית?
 +
 +
== תרגיל 10 שאלה 4.16 ==
 +
 +
הוכחנו בהרצאה את הראשון בעזרת תהליך גראם-שמידט (שהוא בעצם מכיל את ההוכחה של השני).
 +
 +
אז מה בדיוק אנחנו אמורים לכתוב בתרגיל הזה: "נשתמש בתהליך גראם-שמידט" או שנוכיח את כל התהליך פעם נוספת.
 +
 +
== בחנים ==
 +
 +
מתי הציונים?
 +
 +
== שאלה מתחרות ==
 +
 +
איך פותרים את 2 [http://u.math.biu.ac.il/~vishne/programs/competitio/Q/competition_68_biu_080326.pdf כאן]?
 +
http://u.math.biu.ac.il/~vishne/programs/competition/Q/competition_68_biu_080326.pdf
 +
 +
 +
מניסוי וטעייה המטריצה <math>\begin{pmatrix}
 +
2 & 0 & 0 \\
 +
0 & 2 & 0 \\
 +
2 & 2 & 4
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
מקיימת הכל... לא יודע להוכיח יחידות, אבל ממש קל לראות שהערכים העצמיים הם 2 ו-4 (משולשית תחתונה)
 +
 +
היא לא היחידה. ממש קל כמעט למצוא את הפולינום האופייני ע"י דברים שלמדנו: <math>p(x) = x^3-8x^2+bx-16</math> עכשיו צריך למצוא את המקדם b... [ופה בעצם מתחילה החידה], אולי יש לזה איזשהו קשר לז'ורדן, אבל בשאלות כאלו הם בד"כ לא משתמשים בדברים כמו ז'ורדן.
 +
 +
אנחנו יודעים גם ש4 ערך עצמי כי <math>A^{t}</math> סכום כל שורה 4 ולכן יש לנו את הוקטור העצמי <math>(1,1,1)</math> ששיך ל4 ואז אפשר להציב בפולינום האופייני. ובאמת יוצא <math>(x-2)^2(x-4)</math> [[משתמש:Noamlifshitz|Noamlifshitz]]
 +
 +
:נחמד, זה כמו מה שעשינו בחנוכה (עם סכום = 1). כל מה שצריך זה לזכור את הטענות על המקדמים של הפ"א.
 +
הערה - כדאי שתכתבו : בתחילת תשובה, כדי שיבדילו בין התשובות של אנשים שונים.
 +
 +
== תאריך הבוחן ==
 +
 +
באיזה תאריך יתקיים הבוחן הרביעי?
 +
 +
== תרגיל 11 חיתוך אוניטרי וצמוד לעצמו ==
 +
 +
אכן אם נניח ש T צמוד לעצמו והוא גם אוניטרי אז T^2=I אבל ההיפך לא נכון. אז בעצם לא מצאנו את החיתוך. [באופן קיצוני זה כמו להגיד ש <math>T \in End(V)</math>]
 +
 +
== נורמה ==
 +
 +
למה זה אומר שאם הנורמה  של Av (כאשר A מטריצה ו v אופרטור כלשהו) יוצא 0 אזי
 +
v שייך לגרעין של A ?
 +
 +
== לגבי הבוחן השלישי ==
 +
 +
מתי יעלו את ציוני הבוחן השלישי?
 +
לא קיבלתי את שלי, ואני רוצה לדעת מהו הציון !
 +
 +
== שאלה ממבחן של שנה שעברה. ==
 +
 +
איך מוכיחים שאם לשתי מטריצות אותו פולינום אופייני וגם אותו פולינום מינימלי, אז הן דומות? אני מבין שצריך להוכיח שיש להם אותה צורת ג'ורדן, אבל איך לעשות זאת?
 +
:לא מוכיחים. הפרכנו את זה המון פעמים, כולל בהרצאה עצמה... :(אגב, צורת ז'ורדן היא דרך יעילה למצוא מטריצות שהן דוגמה נגדית.)--[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]  18:23, 4 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
::השאלה הייתה להוכיח. ראה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71a.pdf שאלה 4.
 +
:::facepalm... השאלה הייתה להוכיח, אבל לא את זה. שים לב לנתון נוסף בשאלה שלא כתבת כאן. את השאלה הזאת פתרו בתחרות.--[[משתמש:עמנואל|עמנואל]]  14:37, 9 בפברואר 2012 (IST)
 +
 +
== תרגיל שהמצאתי ==
 +
 +
'''הוכח/הפרך:''' תהי A מט' 2x2 מעל הרציונלים כך שהפולינום האופייני שלה מל"ל, גם העקבה וגם הדט' שונים מ-0, אזי לכל <math>2<k \in \mathbb{N}</math>: 
 +
 +
<math>tr(A^k)\neq tr(A)^k</math>
 +
 +
'''הוכחה:'''
 +
 +
הפ"א מל"ל ולכן A דומה למט' ג'ורדן כלשהי, לכן העקבה של A שווה לסכום הע"ע (עם חזרות) <math>\lambda_1+\lambda_2=tr(J(A))=tr(P^{-1}AP)=tr(APP^{-1})=tr(A)</math>.
 +
 +
הוכחנו בעבור שאם <math>\lambda</math> ע"ע של מט' <math>A</math> אז <math>\lambda^k</math> הוא ע"ע של המט' <math>A^k</math> ולכן יוצא ש- <math>\lambda_1^k+\lambda_2^k=tr(J(A^k))=tr(A^k)</math>
 +
 +
סה"כ צ"ל כי: <math>(\lambda _1+\lambda _2)^k\neq \lambda _1^k+\lambda _2^k</math>
 +
 +
מכיוון והעקבה שונה מ-0 אז <math>\lambda _1+\lambda _2 \neq 0</math> ומכיוון והדט' שונה מ-0 אז הע"ע שונים מ-0. מכיוון והע"ע רציונלים אז קיים M מכנה משותף כך ש<math>\lambda _1\cdot M,\lambda _2\cdot M\in \mathbb{Z}</math>
 +
 +
נכפול את שני חלקי המשוואה ב-<math>M^k</math>: <math>(M\lambda _1+M\lambda_2)^k\neq (M\lambda _1)^k+(M\lambda _2)^k</math>
 +
 +
I:הע"ע חיוביים או k זוגי לכן <math>M\lambda \in \mathbb{N}</math>, לכן ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.
 +
 +
II:הע"ע שליליים ו-k אי זוגי, נכפול ב-<math>(-1)</math> ואז לפי ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.
 +
 +
III:ע"ע אחד חיובי והשני שלילי ו-k אי זוגי, נעביר אגפים בצורה מתאימה ולפי ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.
 +
 +
מ.ש.ל
 +
 +
:נחמד, אבל כל הסיבוך עם פרמה הוא בעיקר כדי לעשות רושם, אני משער -- יכולתָ לסיים את זה קודם עם הבינום של ניוטון.
 +
 +
::ברור שאפשר עם הבינום של ניוטון, אבל זה מצריך פעמיים אינדוקציה. לא יפה ヽ(´ー`)人(´∇｀)人(`Д´)ノ
 +
:::מה זה?
 +
 +
== מסלול רק בנילפונטים? ==
 +
 +
האם יכול להיות מסלול באופרטור שאינו נילפוטנטי?
 +
 +
== יש לי 2 שאלות ==
 +
 +
1 האם X בריבוע תפרק לגורמים לינארים
 +
ו2 האם מטריצת ה0 נקראת מטריצה לכסינה?
 +
:כן פעמיים. (לא מתרגל, כמובן. (הרי עניתי))
 +
אז למה פה:  http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_2_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2
 +
בועז כתב בפתרון הראשון שX^2 לא תפרק לגורמים לינאריים?
 +
: זה לא מה שהוא כתב. הוא כתב שx^2 לא לינארי.
 +
 +
== האם מעל C כל מטריצה היא לכסינה? ==
 +
 +
כי נגיד ויוצא לי X^n=1 ולזה יש N פתרונות על פי דה מואבר
 +
:הסתכלת על ההרצאה? ענינו על השאלה הזאת לא פעם ולא פעמיים. זה ברור מעצם זה שפיתחנו את ז'ורדן. (לא.)
 +
 +
== מטריצת ה0 נקראית סימטרית? ==
 +
 +
תודה
 +
 +
:ההגדרה של מטריצה סימטרית היא מטריצה כך ש <math>A^t=A</math>. מטריצה האפס מקיימת תנאי זה ולכן סימטרית. כמו כן היא אנטי סימטרית --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
::איך עברת לינארית 1? O_0
 +
עם חיוך ענק ו100 עגול
 +
 +
== מטריצות מתחלפות ==
 +
 +
יהיו A, B מטריצות מתחלפות (מעל C), צריך להוכיח שיש להן ו"ע משותף.
 +
 +
אני די תקוע, ואני ממש אודה אם מישהו יתן רמז או יפתור.
 +
 +
:באינדוקצייה על n, כי <math>V_\lambda</math> של T שמור ביחס ל-S לכל ע"ע <math>\lambda</math>. עבור <math>n=1</math> זה ברור, למשל הו"ע <math>(1)</math>. עבור n הפרד בין האפשרות ששתיהן סקלריות (ואז ברור) והאפשרות שלפחות אחת לא, ואז המרחב העצמי של לפחות אחד הע"ע הוא ממימד קטן מ-n, ולכן אפשר להשתמש בהנחת האינ'. לבסוף, גם אם הצלחת, שאל את ד"ר צבאן מחר כי זה תרגיל טוב וסטנדרטי.
 +
 +
 +
בונוס: האם זה נכון גם עבור מספר כלשהו של אופרטורים לינאריים מתחלפים? מה לגבי אוסף של <math>\aleph _0</math> אופרטורים (כך שכל שניים מתחלפים)? <math>\aleph</math>?
 +
:ד"ר צבאן ענה שכן, זה נכון אפילו ל<math>\aleph</math> אופרטורים!
 +
 +
== תהי A שונה מ0 אז האם A בחזקת 0 שווה I ? ==
 +
 +
תודה
 +
 +
תודה על מה? בכל מקרה אני בטוח שזה נכון רק אם A הפיכה. (ואז כמו שמוכיחים ש-a^0=1)
 +
 +
== באיזה  שעה השיעור חזרה? ==
 +
 +
ובאיזה יום?
 +
 +
== בקשר למשפט שהעליתם בתש"ע ==
 +
 +
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71b.pdf ההאם אפשר להוכיח את הכיוון הימני בעזרת יחידות של צורת ז'ורדן?

גרסה אחרונה מ־10:12, 29 בפברואר 2012

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


תוכן עניינים

הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שיעורי בית

איפה אפשר לראות את שיעורי הבית  ?

בדף התרגילים, כמובן (: --ארז שיינר

תודה !

ריבוי של ע"ע

איך מוכיחים שריבוי אלגברי של ע"ע גדול מהריבוי הגיאומטרי שלו? (רמז יהיה נחמד)

אה, נניח שהריבוי הגיאומטרי של ע"ע a הוא r, אזי קיימים r וקטורים בת"ל ששייכים למרחב העצמי של a. נשלים אותם לבסיס B של המרחב שלנו. הפולינום האופייני של מטר' דומות זהה. נסתכל על המטר' (או הע"ל) שלנו לפי בסיס B, יהיה לנו את השורש a לפחות r פעמים, זה נובע מדטרמיננטה של מטריצת בלוקים (ב r עמודות יהיו לנו וקטורים מהצורה a*ei)

ליכסון מטריצה

אמרו לנו בתירגול שניתן ללכסן אופרטור מגודל N על N רק עם יש לנו N איברים עצמיים שונים.

זה נכון גם עבור מטריצה?

זו הייתה ההוכחה הראשונה בהרצאה ביום שלישי O_O

דבר ראשון, קל לראות באמצעות מטריצות מייצגות שההבדל בין העתקות לינאריות למטריצות הוא זניח. שנית, אין דבר כזה "איבר עצמי" אם הכוונה שלך היא לע"ע אז המשפט שאמרת לא נכון - לדוגמא אופרטור הזהות. אם התכוונת לו"ע המשפט גם לא נכון, הרי קיימים אינסוף ו"ע (על ידי כפל בקבועים). ניתן לדבר על סכום מימדי המרחבים העצמיים שצריך להיות שווה לN ואז יהיה משפט נכון (גם עבור מטריצות). --ארז שיינר

ליכסון

בהרצאה הוכחנו שהמטריצה היחידה שניתנת לליכסון למטריצת היחידה היא מטריצת היחידה , האם זה אומר שמטריצת היחידה לכסינה או שלא ?

היא דומה למטריצה אלכסונית ע"י הכפלה ב I מימין ומשמאל... אז מסתמן שכן.

תרגיל 1 שאלה 1

מה הפירוש של לטרנספורמציה אין ערכים עצמיים שונים - 0 ערכים עצמיים או ערך עצמי אחד?

כן, או שאין ערכים עצמיים או שיש אחד.

תרגיל 1 שאלה 5

אפשר רמז או הדרכה לפתרון ?

מתי מעלים את תרגיל 2 ?

? מצטרף לשאלה


מצטרף לשאלה.

שאלה

ארז שלום, רציתי לשאול באם תוכל לאפשר לי לשים פה קישור לבלוג שלי שמתעסק בספרות, מידע מדעי וטכנולוגיות. שלחתי לך מיילים אבל כנראה שהמיילים לא הגיעו כי לא ראיתי תגובה. אין בבלוג שלי שום דבר שעובר על זכויות יוצרים. סלבה.

תרגיל 2

מתי מעלים את תרגיל 2?

,תרגילים 2 ו1

מה זה ריבוב? למדנו על ריבוי

זה אותו דבר, ריבוב אלגברי = ריבוי אלגברי, ריבוב גיאומטרי = ריבוי גיאומטרי

מערכי תרגול

האם תוכלו בבקשה להוסיף מערכי תרגול גם ללינארית?

תשובות לשיעורי הבית

למה לא העלו את הפתרון לתרגיל 5 בשיעורי בית 5? התרגיל היחידי הבעייתי...

מותר בבוחן להשתמש בהגדרה השנייה של פ"א בלי הסבר?

(נוחה יותר כשהכל חיובי)

אפשר אולגריתם לשילוש מטריצה?

תודה

תשובה: נתתי כזה בהוכחה שבהרצאה שלי. אפשר לצלם מאחד התלמידים. בועז

טעות בפתרון תרגיל 2 שאלה 4

הוציאו קצת לפני סוף הפירוק לגורמים לינארים להוציא (1+ג) {ג=למדה} עשו את הפעולה אך כתבו כאילו הוציאו (1-ג) ואז נוצר ערך עצמי מיותר הפולינום האופייני היה (1+ג)(1-ג)(ג-8) במקום (ג-8)2^(1+ג)

נוסחא לחישוב דטרמיננטה של מטריצה 3*3

הדטרמיננטה של המטריצה \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}

היא: a*e*i+b*f*g+c*d*h-c*e*g-b*d*i-a*f*h

הבודק :)

תרגיל 4 שאלה 1

בסעיף א', הכוונה לע"ע של A, נכון? לא למדנו ע"ע של סקלרים ;)

אני חושבת שהכוונה היא ל A^k

מה זה מרחב -אינווריאנטי

והאם הוא יכול להיות שאחד הבסיסים בו ישלח ל0 תודה

אפשר בבקשה להלעות אלגוריתם לג'רדון מטריצה?

תודה

הודעה חשובה מהבודק

נא להגיש תרגילים קריאים!!! טיוטות לעשות בנפרד ולא בתרגיל המוגש! כמו כן, לא לכתוב את אותה שאלה במקומות שונים - זה מקשה על הבדיקה.

סטודנט שיגיש ש"ב מלאים קשקושים, מחיקות, וטיוטות, עבודתו לא תבדק.

תודה, הבודק

צורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית

יכול להיות שצורת ג'ורדן של מטריצה/העתקה לינארית לא תהיה בלוק ג'ורדן? שאלה 2 בשאלות האמריקאיות במבחן הזה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2b62ts.pdf

(לא מתרגל) כל הצורות המוצגות כאופציות הן צורות ג'ורדן.

טעות נפוצה בשיעורי הבית

במהלך תרגיל 4, הופיעה במספר תרגילים הטענה: x ע"ע של A אמ"מ x^k ע"ע של A^k. מעל שדה F^{n*n}

הראתם בתרגיל 2 את הכיוון שמאל גורר ימין.

הכיוון השני לאו דווקא נכון, ותלוי בשדה!

יתכן כי x^k יהיה בשדה אך x לא יהיה וכתוצאה מזה הוא לא יהיה ע"ע של A בשדה הנ"ל.

לדוגמא,

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} עם ע"ע x=\pm i


A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} עם ע"ע x=-1

גם A וגם A^2 נמצאים בR^{2*2} וכן x^2 נמצא בR.

אבל, x לא נמצא בR ולכן הוא אינו ע"ע של A שם.

ולכן, לא ניתן להשתמש בטענה זו בתרגיל 4 שאלה 1 שכן אין אנו יודעים דבר על השדה F הנתון.

הבודק.


יהי \alpha ע"ע של A אזי \alpha ^{k} ע"ע של A^{k} = 0 ולכן \alpha ^ {k} = 0 כי 0 הוא הע"ע היחיד של מטריצת האפס... ולכן \alpha = 0 וזה הכיוון הראשון.
[A חייבת להיות לא הפיכה, אחרת A^{k} הפיכה, ובהכרח שונה מ 0, סתירה. לכן קיים צ"ל שמאפס את העמודות של A, ז"א שקיים וקטור v עבורו Av=0 וזה אומר ש 0 אכן ע"ע].
ההוכחה הזו תקפה?


ההוכחה הזו אכן תקפה

הוכחה לאי שוויון המשולש

בכיתה משום מה לא הוכחנו את אי שוויון המשולש [המרצה אמר שנחזור לזה] אם מגדירים אורך של וקטור ע"י שורש המכפלה הפנימית.

אז חשבתי על הוכחה אלמנטרית ביותר להוכחת אי-שוויון המשולש: יהיו u,v וקטורים במרחב מכפלה פנימית. נסמן |v| אורך של וקטור v (כדי לקצר את הכתיבה):

0 \leqslant <\frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}, \frac{u}{|u|}-\frac{v}{|v|}> = 1+1 - \frac{<u,v>}{|u||v|} - \frac{<v,u>}{|u||v|}

\Rightarrow <u,v> + <v,u> \leqslant 2|u||v| \Rightarrow <u,u>+<u,v> + <v,u> + <v,v> \leqslant <u,u> + 2|u||v| + <v,v> \Rightarrow <u+v,u+v> \leqslant (|u|+|v|)^{2} \Rightarrow |u+v| \leqslant |u| + |v|

קראתי את התרגול ואני לא מבין איך מג'רדנים מטריצה!! אפשר הסבר טווב ומפורט בבקשה? תודה

מה אתה נדחף לפה? תפתח שאלה חדשה. [אגב, תקרא את הסיכום של ד"ר בועז]

(איפה כאן הוכחת את קושי-שוורץ? )

בשורה הראשונה [אפשר להכפיל במכנה החיובי]

איך מוכיחים את השוויון שבפתרון תרגיל 6?

שאלה 2ג: [T]^K=[T^k]

יהיו S,H הע"ל שהתחום של S הוא הטווח של H אזי [S][H]=[SH] ואינדוקציה

נחמד.

דרך אחרת היא להראות שלכל פול' P מתקיים P[T]_B=[P(T)]_B ובפרט עבור P=t^k. (נכון?)

איך אתה מוכיח את זה?
באמצעות מה שניסיתי להוכיח ._.

הנחה שגויה נוספת בתרגיל 4

בתרגיל 4, הרבה מכם הניחו שאם A נילפוטנטית אז A היא מטריצה משולשית עם 0 על האלכסון.

הנחה זו שגויה!.

אמנם, כפי שרבים כתבו, דטרמיננטה של מטריצה נילפוטנטית היא x^n (חלקכם כתב שד"ר קוניאבסקי הוכיח זאת), אז אין זה אומר כלום על טבעה של המטריצה.

לדוגמא, A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 4 & -6 \end{pmatrix} היא נילפוטנטית מסדר 2 (בדקו זאת!) והיא לא בעלת אפסים על האלכסון.

הבודק.

הם כנראה התכוונו לכך ש-A דומה למשולשית כזאת, שזה כמובן נכון.
אם כן, היה צורך לציין זאת או להוכיח את זה. בכל המקרים הנחה זו צוינה כעובדה, ללא נימוק, או הוכחה כלשהי.

הבוחן

על איזה תריגילים הבוחן באינפי וו בלינארית ??

ציטוט מנתניהו בהשלמה להרצאה

מתי הוא אמר את זה?

"נסיים בציטוט שלא היה". קרא היטב. --עמנואל

חחחחחחח באמת חשבת שנתניהו אמר את זה?? :)

לא הבנתי את חלק מפתרון תר' 6

תשובה 3C - מה עשו שם עם חישוב חזקות? (למה מותר? האם הכוונה ב"בסיס סטנ'" היא לבסיס הסטנ' של מרחב העמודות, שאנחנו אמורים להבין שהוא אוסף העמודות עצמן?)

תשובה 6 - איפה הוכיחו שקיום גורר M^2=0?

M=AB, BA = 0
ולכן M^{2}=ABAB = A0B = 0 כי כבר הוכחנו שיש אסוציאטיביות בכפל מטר'

האם כדי להוכיח שעבור ערכים כלשהם המטריצה לכסינה, מספיק לדרוש לאחר שראיתי שהיא מתפרקת לגורמים לינאריים, שמספר הערכים העצמיים השונים הוא כמימד מטריצה, או שצריך להראות בהקשדר של וקטורים עצמיים?

כן [ואתה לא משתמש במונחים נכון]


האם כשיש לי שאלה חדשה, אני צריך לכתוב אותה בנושא חדש במקום סתם לשים בשאלה האחרונה? אתם פשוט לא לומדים =.= (לא שזה משנה כאן, כי המתרגלים במילא לא מסתכלים על הדף הזה.)

תפתח שאלה חדשה י'מעצבן... [בא לי למחוק את השאלה שלך]

אוסף בעיות שניתקלתי בהן ולא הצלחתי לפתור

-תהיינה N1,N2 מטריצות מסדר 3x3 (מעל אותו שדה, כמובן). צריך להוכיח: המטריצות דומות אמ"ם יש להן אותו פולינום מינימאלי.

-השתמש בתוצאה של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא: תהיינה A,B מטריצות מסדר nxn מעל אותו שדה בעלות אותו פ"א f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k} ואותו פולינום מינימאלי. הוכח: אם אף a_i אינו גדול מ3 אז, A דומה לB.

-אם A מט' מסדר nxn בעלת פ"א f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k} מהו tr(A)?

הוכחנו טענה על מקדמי הפ״א. דרך קלה יותר היא לזכור שtr של מטריצות דומות הוא זהה, ולכן מספיק לחשב עבור צורת ז׳ורדן, לפי המשפט על המעריכים בפ״א.

- תהיינה A,B מט' נילפוטנטיות מסדר 6x6 בעלות אותו פולינום מינימאלי ואותו מרחב אפס. צריך להוכיח שהן דומות ושהדבר לא נכון עבור מטריצות נילפוטנטיות מסדר 7x7.

- השתמש בפתרון של התרגיל הקודם כדי להוכיח את המשפטון הבא: A,B מטריצות מסדר nxn בעלות אותו פ"א f(X)=(X-\lambda_1)^{a_1}...(X-\lambda_k)^{a_k} ופולינום מינימאלי. נניח גם שלכל i הממידים של מרחבי האפס של המטריצות (A-c_iI) ,(B-c_iI) שווים. אם אף d_i אינו גדול מ6, אז A ו-B דומות.

-יהי n\geq2 טבעי ותהי מט' A מסדר nxn ונילפוטנטית מסדר n (כלומר A^n=0 אבל A^{n-1}\neq0). הוכח שאין מטריצה B מסדר nxn המקיימת B^2=A.

B^2n=0 אבל B^(2n-2) != 0 הוכחנו כבר שאינדקס נילפוטנטיות של מטר' קטן או שווה ל n, משמע נקבל 2n-1<=n ולכן n<=1 בסתירה לנתון.

כמה שאלות:

1. בפיתרון של תרגיל 6 שאלה 7 השתמשו במשפט "מספר בלוקי ג'ורדן מגודל 3 הוא \rho (A^2) - 2 \rho (A^3) + \rho (A^4) ". מתי למדנו את המשפט הזה? מותר להשתמש בו? אם לא, איך כן פותרים את התרגיל הזה?

2. אם נתון לי ש- A = A_1\oplus A_2\oplus ... \oplus A_k, אז אני יכול לומר ש- A^s = A_1^s\oplus A_2^s\oplus ... \oplus A_k^s  ?

3. אם מבקשים ממני לשלש מטריצה, אני יכול להעביר לצורת ג'ורדן (כי הרי היא משולשית)?

1) בקבוצה של יפית למדנו את זה
2) זה נובע ישירות מכפל מטריצת בלוקים באינדוקציה.

מטריצה משלשת ומג'רדנת

האם אני יכול להשתמש באלגוריתם למציאת מטריצה משלשת במקום האלגוריתם למציאת מטריצה מג'רדנת?


זה שני דברים שונים, אם מבקשים למצוא מט' משלשת אז ניתן להשתמש בכל אחד משני האלגוריתמים. אבל אם מבקשים מט' מג'רדנת אז לא בטוח שהמטריצה המשלשת תג'רדן את המט'. (כל מט' מג'רדנת היא גם משלשת אבל לא כל מט' משלשת היא גם מג'רדנת)

מה זה בעצם בסיס סטנדרטי?

1) מה מייחד את הבסיסים הסטנדרטיים מסתם בא״נ?

2) איך מגדירים במדוייק בסיס סטנ׳?

3) האם לכל מרחב וקטורי קיים בסיס סטנ׳?


אני חושב שדיברנו עליו רק במסגרת דיונים על F^{n} שנפרש מעל F ואז כמובן e_i הוא וקטור שרכיביו הם אפסים חוץ מהמיקום ה i שם יש את איבר היחידה. [כאשר הבסיס הסטנד' הוא {e_1,...,e_n}]


בא"נ זה בסיס אורתוגונלי (כל וקטור מאונך לכל האחרים) ונורמלי (המכפלה הפנימית של וקטור בעצמו היא 1) ובסיס סטנדרטי זה עוד מלינארית 1, בסיס שכל וקטור (v) ששייך למרחב הנפרש, וקטור הקואורדינטות לפי בסיס זה הוא בדיוק הוקטור(v). כנס לתמונה הזאת:[1]. (S-בסיס סטדרטי, v בסוף בסוף יוצא וקטור עמודה רק.)

תר' 7 שאלה 3, מציאת מטריצה מז'רדנת

האם הפתרון שהועלה לתרגיל 7 שאלה 3 הוא לפי השיטה שלנו? בכלל לא עושים שם חיתוכים ומרחב עמודות...

2)מותר להשתמש בזה במבחן?

זה בדיוק אותו הדבר... רק בכתיבה שונה. זה לא ממש משנה. (ker זה כמו מרחב האפס של מטריצה, רק בהעתקות לינאריות. ושאר מה שכתוב שם ניתן למצוא הסבר במשפט ג'ורדן: הסיפור המלא[2])

הבוחן

אני לא מבינה. גם הבוחן באינפי וגם הבוחן בלינארית הם ביום חמישי בשעה 6 ? איך זה הגיוני ?

הגיוני. איפה הסתירה הלוגית?

תרגיל 10 שאלה 4.16

הוכחנו בהרצאה את הראשון בעזרת תהליך גראם-שמידט (שהוא בעצם מכיל את ההוכחה של השני).

אז מה בדיוק אנחנו אמורים לכתוב בתרגיל הזה: "נשתמש בתהליך גראם-שמידט" או שנוכיח את כל התהליך פעם נוספת.

בחנים

מתי הציונים?

שאלה מתחרות

איך פותרים את 2 כאן? http://u.math.biu.ac.il/~vishne/programs/competition/Q/competition_68_biu_080326.pdf


מניסוי וטעייה המטריצה \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} מקיימת הכל... לא יודע להוכיח יחידות, אבל ממש קל לראות שהערכים העצמיים הם 2 ו-4 (משולשית תחתונה)

היא לא היחידה. ממש קל כמעט למצוא את הפולינום האופייני ע"י דברים שלמדנו: p(x) = x^3-8x^2+bx-16 עכשיו צריך למצוא את המקדם b... [ופה בעצם מתחילה החידה], אולי יש לזה איזשהו קשר לז'ורדן, אבל בשאלות כאלו הם בד"כ לא משתמשים בדברים כמו ז'ורדן.

אנחנו יודעים גם ש4 ערך עצמי כי A^{t} סכום כל שורה 4 ולכן יש לנו את הוקטור העצמי (1,1,1) ששיך ל4 ואז אפשר להציב בפולינום האופייני. ובאמת יוצא (x-2)^2(x-4) Noamlifshitz

נחמד, זה כמו מה שעשינו בחנוכה (עם סכום = 1). כל מה שצריך זה לזכור את הטענות על המקדמים של הפ"א.

הערה - כדאי שתכתבו : בתחילת תשובה, כדי שיבדילו בין התשובות של אנשים שונים.

תאריך הבוחן

באיזה תאריך יתקיים הבוחן הרביעי?

תרגיל 11 חיתוך אוניטרי וצמוד לעצמו

אכן אם נניח ש T צמוד לעצמו והוא גם אוניטרי אז T^2=I אבל ההיפך לא נכון. אז בעצם לא מצאנו את החיתוך. [באופן קיצוני זה כמו להגיד ש T \in End(V)]

נורמה

למה זה אומר שאם הנורמה של Av (כאשר A מטריצה ו v אופרטור כלשהו) יוצא 0 אזי 

v שייך לגרעין של A ?

לגבי הבוחן השלישי

מתי יעלו את ציוני הבוחן השלישי? לא קיבלתי את שלי, ואני רוצה לדעת מהו הציון !

שאלה ממבחן של שנה שעברה.

איך מוכיחים שאם לשתי מטריצות אותו פולינום אופייני וגם אותו פולינום מינימלי, אז הן דומות? אני מבין שצריך להוכיח שיש להם אותה צורת ג'ורדן, אבל איך לעשות זאת?

לא מוכיחים. הפרכנו את זה המון פעמים, כולל בהרצאה עצמה... :(אגב, צורת ז'ורדן היא דרך יעילה למצוא מטריצות שהן דוגמה נגדית.)--עמנואל 18:23, 4 בפברואר 2012 (IST)
השאלה הייתה להוכיח. ראה http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71a.pdf שאלה 4.
facepalm... השאלה הייתה להוכיח, אבל לא את זה. שים לב לנתון נוסף בשאלה שלא כתבת כאן. את השאלה הזאת פתרו בתחרות.--עמנואל 14:37, 9 בפברואר 2012 (IST)

תרגיל שהמצאתי

הוכח/הפרך: תהי A מט' 2x2 מעל הרציונלים כך שהפולינום האופייני שלה מל"ל, גם העקבה וגם הדט' שונים מ-0, אזי לכל 2<k \in \mathbb{N}:

tr(A^k)\neq tr(A)^k

הוכחה:

הפ"א מל"ל ולכן A דומה למט' ג'ורדן כלשהי, לכן העקבה של A שווה לסכום הע"ע (עם חזרות) \lambda_1+\lambda_2=tr(J(A))=tr(P^{-1}AP)=tr(APP^{-1})=tr(A).

הוכחנו בעבור שאם \lambda ע"ע של מט' A אז \lambda^k הוא ע"ע של המט' A^k ולכן יוצא ש- \lambda_1^k+\lambda_2^k=tr(J(A^k))=tr(A^k)

סה"כ צ"ל כי: (\lambda _1+\lambda _2)^k\neq \lambda _1^k+\lambda _2^k

מכיוון והעקבה שונה מ-0 אז \lambda _1+\lambda _2 \neq 0 ומכיוון והדט' שונה מ-0 אז הע"ע שונים מ-0. מכיוון והע"ע רציונלים אז קיים M מכנה משותף כך ש\lambda _1\cdot M,\lambda _2\cdot M\in \mathbb{Z}

נכפול את שני חלקי המשוואה ב-M^k: (M\lambda _1+M\lambda_2)^k\neq (M\lambda _1)^k+(M\lambda _2)^k

I:הע"ע חיוביים או k זוגי לכן M\lambda \in \mathbb{N}, לכן ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.

II:הע"ע שליליים ו-k אי זוגי, נכפול ב-(-1) ואז לפי ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.

III:ע"ע אחד חיובי והשני שלילי ו-k אי זוגי, נעביר אגפים בצורה מתאימה ולפי ממשפטו האחרון של פרמה סיימנו.

מ.ש.ל

נחמד, אבל כל הסיבוך עם פרמה הוא בעיקר כדי לעשות רושם, אני משער -- יכולתָ לסיים את זה קודם עם הבינום של ניוטון.
ברור שאפשר עם הבינום של ניוטון, אבל זה מצריך פעמיים אינדוקציה. לא יפה ヽ(´ー`)人(´∇｀)人(`Д´)ノ
מה זה?

מסלול רק בנילפונטים?

האם יכול להיות מסלול באופרטור שאינו נילפוטנטי?

יש לי 2 שאלות

1 האם X בריבוע תפרק לגורמים לינארים ו2 האם מטריצת ה0 נקראת מטריצה לכסינה?

כן פעמיים. (לא מתרגל, כמובן. (הרי עניתי))

אז למה פה: http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%91%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%A1_%D7%9C%D7%9C%D7%99%D7%A0%D7%90%D7%A8%D7%99%D7%AA_2_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2 בועז כתב בפתרון הראשון שX^2 לא תפרק לגורמים לינאריים?

זה לא מה שהוא כתב. הוא כתב שx^2 לא לינארי.

האם מעל C כל מטריצה היא לכסינה?

כי נגיד ויוצא לי X^n=1 ולזה יש N פתרונות על פי דה מואבר

הסתכלת על ההרצאה? ענינו על השאלה הזאת לא פעם ולא פעמיים. זה ברור מעצם זה שפיתחנו את ז'ורדן. (לא.)

מטריצת ה0 נקראית סימטרית?

תודה

ההגדרה של מטריצה סימטרית היא מטריצה כך ש A^t=A. מטריצה האפס מקיימת תנאי זה ולכן סימטרית. כמו כן היא אנטי סימטרית --ארז שיינר
איך עברת לינארית 1? O_0

עם חיוך ענק ו100 עגול

מטריצות מתחלפות

יהיו A, B מטריצות מתחלפות (מעל C), צריך להוכיח שיש להן ו"ע משותף.

אני די תקוע, ואני ממש אודה אם מישהו יתן רמז או יפתור.

באינדוקצייה על n, כי V_\lambda של T שמור ביחס ל-S לכל ע"ע \lambda. עבור n=1 זה ברור, למשל הו"ע (1). עבור n הפרד בין האפשרות ששתיהן סקלריות (ואז ברור) והאפשרות שלפחות אחת לא, ואז המרחב העצמי של לפחות אחד הע"ע הוא ממימד קטן מ-n, ולכן אפשר להשתמש בהנחת האינ'. לבסוף, גם אם הצלחת, שאל את ד"ר צבאן מחר כי זה תרגיל טוב וסטנדרטי.


בונוס: האם זה נכון גם עבור מספר כלשהו של אופרטורים לינאריים מתחלפים? מה לגבי אוסף של \aleph _0 אופרטורים (כך שכל שניים מתחלפים)? \aleph?

ד"ר צבאן ענה שכן, זה נכון אפילו ל\aleph אופרטורים!

תהי A שונה מ0 אז האם A בחזקת 0 שווה I ?

תודה

תודה על מה? בכל מקרה אני בטוח שזה נכון רק אם A הפיכה. (ואז כמו שמוכיחים ש-a^0=1)

באיזה שעה השיעור חזרה?

ובאיזה יום?

בקשר למשפט שהעליתם בתש"ע

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/LA2T71b.pdf ההאם אפשר להוכיח את הכיוון הימני בעזרת יחידות של צורת ז'ורדן?

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-113_לינארית_2_סמסטר_א_תשעב&oldid=20223