הבדלים בין גרסאות בדף "שורש של מטריצה הפיכה"
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) |
||
שורה 19: | שורה 19: | ||
בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0 | בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר <math>a_{1,n+1}^{2}</math> הוא 0 <math>a_{1,n+1}^{2}=\sum_{k=1}^{n+1}a_{1k}a_{k1}=\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}a_{1k}a_{k1}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}= \frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}+\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1n}+\frac{-\sqrt{\lambda}}{2\sqrt{\lambda}\sum_{k=2}^{n}b_{1k}b_{k-1,n}}=0 | ||
− | </math><math>a_{n,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות | + | </math><math>a_{n+1,1}=0</math> על פי סגירות לכפל של משולשיות |
ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש | ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח <math>B^{2}=J_{A}=P^{-1}AP</math> נקבל <math>A=\left(PBP^{-1}\right)^{2}</math> ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש |
גרסה אחרונה מ־21:28, 5 בינואר 2012
נוכיח שלצורת הג'ורדן של המטריצה ו- יש שורש. בגלל שהיא הפיכה אז אין לה ערך עצמי 0 ואיברי האלכסון יהיו שונים מ 0 . מספיק להראות שלכל בלוק יש שורש כי נניח )סיגמא ישרה( רץ על כל כך ש בצורת ג'ורדן של A אז כי כל בלוק מוכפל בנפרד נראה שלבלוק גורדן לא של 0 יש שורש נבדוק את המשפט עבור מטריצה
נניח באינדוקציה שלבלוק ג'ורדן מסדר n ונניח שלכל i רכיבי האלכסון הi כלומר הרכיבים מהצורה שווים ועוד נניח שהיא משולשית עליונה כל ההנחות מתקיימות עבור n=2,1
נבדוק עבור n+1
יהי נקח מטריצה A כך שהמינורים יש כזאת מטריצה בגלל ההנחה שב-B כל רכיבי האלכסון שווים נשים בתור אם נקח עבור i,j>1 בגלל שהנחנו ש b משולשית עליונה. קיבלנו את התנאים עבור רכיבי בלוק ג'ורדן. ההוכחה עבור i,j>n זהה. נוכיח שהאיבר הוא 0 על פי סגירות לכפל של משולשיות
ולכן לכל צורת ג'ורדן יש שורש נניח נקבל ולכן לכל מטריצה הפיכה יש שורש