הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
(←מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(9 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | |||
− | |||
==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== | ==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים== | ||
− | יהי <math>\ | + | יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי: |
− | + | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר | |
− | + | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס | |
− | + | ||
− | + | ||
+ | :אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה. | ||
===הוכחה=== | ===הוכחה=== | ||
+ | נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון: | ||
− | + | :<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> | |
+ | לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> . | ||
− | + | לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math> | |
− | + | לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math> | |
− | + | לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math> | |
− | + | ולכן הטור מתבדר. | |
− | |||
− | + | כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> . | |
+ | |||
+ | לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math> | ||
+ | |||
+ | אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס | ||
+ | |||
+ | לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1. | ||
+ | |||
+ | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה אחרונה מ־15:18, 12 בפברואר 2017
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
לכן החל ממקום מסוים בסדרה, .
לכן
לכן
לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
לכן החל ממקום מסוים בסדרה,
לכן
אבל הוא טור הנדסי מתכנס
לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.