הבדלים בין גרסאות בדף "מנרמל"
(יצירת דף עם התוכן "ה'''מנרמל''' של תת-חבורה H בחבורה G הוא הקבוצה <math>\ N_G(H) = \{g \in G: gHg^{-1} = H\}</math>. זוהי תת-חבורה ש...") |
(←הצמדות) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל <math>\ g \in G</math> מתקיים <math>\ N_G(gHg^{-1}) = gN_G(H)g^{-1}</math>. | תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל <math>\ g \in G</math> מתקיים <math>\ N_G(gHg^{-1}) = gN_G(H)g^{-1}</math>. | ||
− | + | '''תרגיל''' (89214, מבחן תשע"ב א'). לכל תת-חבורה H של חבורה G, ה[[מרכז של תת-חבורה|מרכז]] <math>\ C_G(H)</math> הוא תת-חבורה נורמלית של המנרמל <math>\ N_G(H)</math>. | |
+ | |||
+ | === הכללות === | ||
+ | |||
+ | * יהי <math>\ \varphi</math> [[אוטומורפיזם]] של G; אז <math>\ N_G(\varphi(H)) = \varphi(N_G(H))</math>. | ||
== דגשים == | == דגשים == |
גרסה אחרונה מ־23:16, 14 בפברואר 2012
המנרמל של תת-חבורה H בחבורה G הוא הקבוצה . זוהי תת-חבורה של G, המכילה את H.
המנרמל הוא תת-החבורה *הגדולה ביותר* של G שבתוכה H נורמלית. ביתר דיוק:
- תהי G חבורה, ותהי H תת-חבורה שלה. לכל תת-חבורה , אם ורק אם . בפרט, .
כמובן, אם H נורמלית, אז המנרמל שלה הוא כל החבורה.
תוכן עניינים
דקויות
תת-חבורה H היא נורמלית ב-G אם לכל מתקיים , והתנאי האחרון הוא זה המופיע בהגדרת המנרמל. כאן נחבאת נקודה מבלבלת. התנאי "לכל מתקיים ", למרות שהוא א-פריורי חלש יותר, מגדיר נורמליות באותה מידה כמו התנאי הראשון. עם זאת, הקבוצה אינה בהכרח שווה למנרמל: היא עשויה להכיל אותו ממש, ואף אינה חייבת להיות תת-חבורה של G (כמובן שאם G סופית אין הבדל בין שתי ההגדרות).
הצמדות
המנרמל סופר תת-חבורות צמודות, במובן הבא: לכל תת-חבורה H של חבורה G, מספר תת-החבורות הצמודות ל-H (ב-G) שווה לאינדקס .
תהיינה G חבורה ו-H תת-חבורה. אז לכל מתקיים .
תרגיל (89214, מבחן תשע"ב א'). לכל תת-חבורה H של חבורה G, המרכז הוא תת-חבורה נורמלית של המנרמל .
הכללות
- יהי אוטומורפיזם של G; אז .
דגשים
- הפונקציה המתאימה לתת-חבורה את המנרמל שלה, אינה מונוטונית כמו פונקציית המרכז. כלומר, מכך ש- לא נובע א-פריורי שום יחס בין המנרמלים .
- המנרמל עצמו אינו חייב להיות נורמלי ב-G. לפיכך, גם לו יש מנרמל משלו, , וכן הלאה. (אם P היא תת-חבורת סילו, אז המנרמל שלה נורמלי בעצמו בלבד, כלומר .