הבדלים בין גרסאות בדף "משפט הדרגה"
מתוך Math-Wiki
מ (משפטים/לינארית/משפט הדרגה הועבר למשפט הדרגה) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=משפט הדרגה= | =משפט הדרגה= | ||
− | יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\ | + | יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים: |
− | + | :<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math> | |
− | + | ||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
− | נסמן את הבסיס לגרעין | + | נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> . |
− | נשלים את הבסיס הזה לבסיס | + | נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> . |
− | נוכיח כי <math>E=\{Tu_1, | + | נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט. |
===E פורש את ImT=== | ===E פורש את ImT=== | ||
− | כיוון שכל וקטור | + | כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס. |
− | לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס | + | לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> . |
− | כלומר | + | כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> . |
− | ברור כי <math>Tv_1= | + | ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין). |
− | לכן מתקיים <math> | + | לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> . |
===E בת"ל=== | ===E בת"ל=== | ||
− | + | ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> : | |
− | ניקח צירוף לינארי מתאפס של | + | :<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
לכן | לכן | ||
− | + | :<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
לכן | לכן | ||
+ | :<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math> | ||
+ | ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו | ||
+ | :<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math> | ||
+ | נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0. | ||
− | + | לכן <math>E</math> בת"ל. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ===ספירת | + | ===ספירת ממדים וסיכום=== |
− | הוכחנו | + | הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין. |
+ | :<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math> | ||
− | : | + | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה אחרונה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018
חזרה למשפטים בלינארית
תוכן עניינים
משפט הדרגה
יהיו מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית . אזי מתקיים:
הוכחה
נסמן את הבסיס לגרעין ב־ .
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־ , נסמנו .
נוכיח כי בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
E פורש את ImT
כיוון שכל וקטור ב־ הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־ התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של .
כלומר .
ברור כי (הרי בחרנו את להיות בסיס לגרעין).
לכן מתקיים .
E בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי :
לכן
לכן
ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של , ולכן כל המקדמים הם 0.
לכן בת"ל.
ספירת ממדים וסיכום
הוכחנו אפוא, כי הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.