הבדלים בין גרסאות בדף "משפט ההגדרה"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
|||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
=משפט ההגדרה= | =משפט ההגדרה= | ||
− | יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{ | + | יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>. |
− | + | יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים). | |
− | <math> | + | אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת: |
− | + | :<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math>\vdots | + | |
− | + | ||
− | + | ||
=הוכחה= | =הוכחה= | ||
− | יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B | + | יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math> |
− | + | :<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math> | |
− | + | לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי | |
− | + | :<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math> | |
− | לכן | + | קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>). |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | ולכן S=T. | + | נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים: |
+ | :<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math> | ||
+ | ולכן <math>S=T</math>. | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] |
גרסה אחרונה מ־18:16, 27 בפברואר 2021
חזרה למשפטים בלינארית
משפט ההגדרה
יהי מ"ו נוצר סופית, ויהי בסיס ל־.
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו וקטורים כלשהם (לא בהכרח שונים).
אזי קיימת העתקה לינארית יחידה המקיימת:
הוכחה
יהי . אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס
לכן ניתן להגדיר היטב העתקה על ידי
קל מאד להראות כי המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר ).
נותר להוכיח כי יחידה. אמנם, אם העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר ), מתקיים:
ולכן .