הבדלים בין גרסאות בדף "שדה סופי"
(יצירת דף עם התוכן "'''שדה סופי''' הוא - למה כבר אפשר לצפות - שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי ...") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | '''שדה סופי''' הוא | + | '''שדה סופי''' הוא – למה כבר אפשר לצפות – [[שדה]] [[קבוצה סופית|סופי]], כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים. |
− | הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\ | + | הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, <math>\Z_p</math> , אבל יש גם שדות סופיים אחרים. |
כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]]. | כמו ב[[חבורה|חבורות]], ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם [[איזומורפיזם|איזומורפיים]]. | ||
− | == סדרים אפשריים == | + | ==סדרים אפשריים== |
+ | ה[[מאפיין]] של שדה סופי הוא מספר ראשוני <math>p</math> . השדה מכיל [[תת-שדה ראשוני]] שהוא איזומורפי ל־<math>\Z_p</math> . השדה הוא [[מרחב וקטורי]] מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו [[ממד]] סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־<math>\Z_p^n</math> (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני <math>p</math> . | ||
− | + | ==קיום== | |
+ | לכל חזקת ראשוני <math>q=p^n</math> קיים שדה מסדר <math>q</math> . | ||
− | == | + | '''הוכחה'''. נתבונן בפולינום <math>x^{q}-x</math> מעל השדה הראשוני <math>F=\Z_p</math> . יהי <math>K</math> [[שדה מפצל]] של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה <math>K_0=\{a\in K:a^q=a\}</math> . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל [[אוטומורפיזם פרובניוס]]. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק <math>q</math> אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות: |
+ | #מספר ה[[שורש של פולינום|שורשים]] של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה; | ||
+ | #הפולינום [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] ולכן אין לו שורשים חוזרים; | ||
+ | #הפולינום מתפצל ב־<math>K_0</math> מכיוון שהוא מתפצל ב־<math>K</math> . | ||
− | + | כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר <math>q=p^n</math> , יש להכיר [[פולינום אי-פריק]] <math>f\in F[x]</math> מ[[מעלה]] <math>n</math> . במקרה זה, [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>F[x]/F[x]f(x)</math> הוא שדה מכיוון ש־<math>F[x]f(x)</math> [[אידיאל מקסימלי]]. | |
− | + | ==יחידות== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | העובדה שמכל סדר <math>q</math> יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות [[שדה פיצול|שדה הפיצול]] (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים"). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
[[קטגוריה:תורת גלואה]] | [[קטגוריה:תורת גלואה]] | ||
[[קטגוריה:89214]] | [[קטגוריה:89214]] |
גרסה אחרונה מ־14:01, 2 בספטמבר 2018
שדה סופי הוא – למה כבר אפשר לצפות – שדה סופי, כלומר, שדה שיש בו מספר סופי של אברים.
הדוגמא המוכרת ביותר הם השדות מסדר ראשוני, , אבל יש גם שדות סופיים אחרים.
כמו בחבורות, ה"סדר" של השדה הוא מספר האברים שלו. וכמו בחבורות, הסדר הוא הפרמטר החשוב ביותר בתאור השדה. למעשה, הרבה יותר מבחבורות: כל שני שדות סופיים מאותו סדר הם איזומורפיים.
סדרים אפשריים
המאפיין של שדה סופי הוא מספר ראשוני . השדה מכיל תת-שדה ראשוני שהוא איזומורפי ל־ . השדה הוא מרחב וקטורי מעל תת־השדה הזה, ומכיוון שיש לו ממד סופי, הוא איזומורפי *בתור מרחב וקטורי* ל־ (התאור הזה קובע את פעולת החיבור, ולכן גם את המבנה כחבורה חיבורית, אבל לא את פעולת הכפל). מכאן שהגודל של שדה סופי הוא חזקה של ראשוני .
קיום
לכל חזקת ראשוני קיים שדה מסדר .
הוכחה. נתבונן בפולינום מעל השדה הראשוני . יהי שדה מפצל של הפולינום הזה. נתבונן בתת־הקבוצה . קל לראות שהיא סגורה לכפל; והיא סגורה לחיבור בשל אוטומורפיזם פרובניוס. לכן זהו תת־שדה. יש בו בדיוק אברים, בגלל צירוף הסיבות הבאות:
- מספר השורשים של הפולינום אינו יכול לעבור את המעלה;
- הפולינום ספרבילי ולכן אין לו שורשים חוזרים;
- הפולינום מתפצל ב־ מכיוון שהוא מתפצל ב־ .
כדי לבנות באופן מפורש שדה מסדר , יש להכיר פולינום אי-פריק ממעלה . במקרה זה, חוג המנה הוא שדה מכיוון ש־ אידיאל מקסימלי.
יחידות
העובדה שמכל סדר יש לכל היותר שדה אחד נובעת מיחידות שדה הפיצול (טענה זו אינה בחומר לקורס "מבנים אלגבריים").