הבדלים בין גרסאות בדף "שדה"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "קטגוריה:אלגברה לינארית קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <mat...") |
|||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
+ | |||
+ | <videoflash>3SAV7M1gJxM</videoflash> | ||
+ | |||
קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות: | קבוצה <math>\mathbb{F}</math> עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור <math>(\mathbb{F},\cdot,+)</math> נקראת '''שדה''' אם מתקיימות התכונות הבאות: | ||
− | + | ||
− | + | 1. '''סגירות''' | |
− | + | :<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b\in\mathbb{F},a\cdot b\in\mathbb{F}</math> | |
− | + | :(שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה) | |
− | + | 2. '''קומוטאטיביות/חילופיות''' | |
− | + | :<math>\forall a,b\in\mathbb{F}:a+b=b+a,a\cdot b = b\cdot a</math> | |
− | + | 3. '''אסוציאטיביות''' | |
+ | :<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:(a+b)+c=a+(b+c),(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math> | ||
+ | 4. '''קיום אברים נייטרליים''' | ||
+ | :קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים | ||
+ | :<math>\forall a\in\mathbb{F}:1\cdot a=a\cdot1=a,a+0=0+a=a</math> | ||
+ | :בנוסף מתקיים <math>0\ne1</math> | ||
+ | 5. '''קיום אבר נגדי לחיבור-''' | ||
+ | :לכל אבר <math>a</math> קיים אבר שנסמנו <math>(-a)</math> כך שמתקיים <math>a+(-a)=0</math> . | ||
+ | :לצורך קיצור הכתיבה נסמן <math>a+(-a)=a-a</math> (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי) | ||
+ | 6. '''קיום איבר הופכי לכפל''' | ||
+ | :לכל אבר <math>a\ne0</math> קיים אבר שנסמנו <math>a^{-1}</math> כך שמתקיים <math>a\cdot a^{-1} = 1</math> . | ||
+ | :שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה <math>a\cdot b^{-1}=\dfrac{a}{b}</math> . | ||
+ | 7. '''דיסטריבוטיביות/פילוג''' | ||
+ | :<math>\forall a,b,c\in\mathbb{F}:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> | ||
+ | :שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור. |
גרסה אחרונה מ־17:28, 4 בספטמבר 2020
קבוצה עם זוג פעולות בינאריות הנקראות כפל וחיבור נקראת שדה אם מתקיימות התכונות הבאות:
1. סגירות
- (שימו לב שזה בסך הכל אומר שתוצאת הפעולות הבינאריות נשארת בשדה)
2. קומוטאטיביות/חילופיות
3. אסוציאטיביות
4. קיום אברים נייטרליים
- קיימים אברים שנסמנם 1,0 המקיימים
- בנוסף מתקיים
5. קיום אבר נגדי לחיבור-
- לכל אבר קיים אבר שנסמנו כך שמתקיים .
- לצורך קיצור הכתיבה נסמן (פעולת החיסור היא פשוט חיבור לנגדי)
6. קיום איבר הופכי לכפל
- לכל אבר קיים אבר שנסמנו כך שמתקיים .
- שיטה נפוצה לסימון פעולה זו הנה .
7. דיסטריבוטיביות/פילוג
- שימו לב שזו התכונה היחידה המקשרת בין הכפל לבין החיבור.