הבדלים בין גרסאות בדף "סיווג נקודה חשודה"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏סיווג נקודות חשודות)
 
(5 גרסאות ביניים של 3 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 2: שורה 2:
  
 
==הגדרת נקודה חשודה==
 
==הגדרת נקודה חשודה==
−
תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x
+
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית. נקודה <math>x</math> בתחום ההגדרה של <math>f</math> נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- <math>x</math> .
  
 
==סיווג נקודות חשודות==
 
==סיווג נקודות חשודות==
 +
'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
 +
:<math>\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}</math>
 +
 +
אזי:
 +
*אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''.
 +
*אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''.
 +
*אם <math>n+1</math> אי-זוגי אזי <math>a</math> [[נקודת פיתול]].
 +
 +
==='''הוכחה:'''===
 +
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:
 +
 +
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
 +
 +
אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- <math>a</math> , מתקיים
 +
 +
:<math>f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
 +
 +
לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:
 +
 +
:<math>f(x)-f(a)\ge0</math>
 +
 +
שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.
 +
 +
כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''.
 +
 +
באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''.
 +
 +
אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
 +
 +
כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .
 +
 +
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.

גרסה אחרונה מ־06:24, 14 בפברואר 2017


הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם f'(x)=0 או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- x .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a . עוד נניח כי

\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}

אזי:

הוכחה:

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- a , מתקיים

f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

לכן, אם n+1 זוגי וגם f^{(n+1)}(a)>0 לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת a בה f^{(n+1)}>0 ולכן לכל x בסביבה מתקיים:

f(x)-f(a)\ge0

שכן (x-a)^{(n+1)}\ge0 תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם f^{(n+1)}(a)>0 אזי x הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם f^{(n+1)}(a)<0 אזי x הנה נקודת מקסימום.

אם n+1 אי-זוגי, אזי הסימן של (x-a)^{(n+1)} חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיון שסימן f^{(n+1)} קבוע בסביבת a , סה"כ מצד אחד f(x)>f(a) ומהצד השני f(x)<f(a) .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- a ולכן המשיק הוא y=f(a) , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הנה נקודת פיתול.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=סיווג_נקודה_חשודה&oldid=70529