הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע==") |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(6 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
+ | תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות: | ||
+ | :<math>f_A(x):=|xI-A|</math> | ||
+ | קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> . | ||
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ||
+ | כל התנאים הבאים שקולים: | ||
+ | *<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math> | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math> | ||
+ | מעבר אגפים: | ||
+ | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math> | ||
+ | (דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:) | ||
+ | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math> | ||
+ | לפי ההגדרה: | ||
+ | *קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math> | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | *המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | ||
+ | משפט מלינארית 1: | ||
+ | *<math>|A-xI|=0</math> | ||
+ | לפי הגדרה: | ||
+ | *<math>f_A(x)=0</math> | ||
+ | |||
+ | ===משפט=== | ||
+ | <math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> . |
גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018
הגדרה
תהי מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה .
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
כל התנאים הבאים שקולים:
- הנו ע"ע של המטריצה
לפי ההגדרה:
- קיים וגם
מעבר אגפים:
- קיים וגם
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים וגם
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס
משפט מלינארית 1:
- המטריצה אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
לפי הגדרה:
משפט
הנו ע"ע של אם"ם הנו שורש של הפולינום האופייני של .