הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגילים)
(←‏מספרים מרוכבים)
 
(10 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 12: שורה 12:
  
  
−
::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
+
::<math>arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>
  
  
  
 
'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>
 
'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>
−
 
  
 
==תרגילים==
 
==תרגילים==
שורה 33: שורה 32:
  
 
*<math>arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}</math>
 
*<math>arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}</math>
 +
 +
 +
*<math>sin(2x) < 2sin(x)</math>
 +
 +
 +
*<math>\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0</math>
 +
 +
 +
==מספרים מרוכבים==
 +
 +
ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית [[אלגברה לינארית - ארז שיינר#שדה המרוכבים|בקישור הבא]].
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''' חשבו את <math>z\cdot \overline{z}</math>
 +
 +
'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>
 +
 +
 +
::הערה: נסמן <math>|z|=\sqrt{a^2+b^2}</math>
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''' הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.
 +
 +
'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
 +
 +
 +
::הערה: באופן כללי נסמן <math>z^{-1}=\frac{1}{z}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''' חשבו את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>
 +
 +
 +
 +
 +
'''הגדרה''': עבור מספר מרוכב <math>z=a+bi</math>
 +
 +
::החלק הממשי <math>Re(z)=a</math>
 +
 +
::החלק המדומה <math>Im(z)=b</math>
 +
 +
 +
לדוגמא:
 +
 +
 +
<math>Im(a-bi) = -b</math>
 +
 +
 +
 +
'''תרגיל''': הוכיחו כי <math>|z|\geq |Re(z)|</math>
 +
 +
 +
'''תרגיל''': הוכיחו את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>
 +
 +
==המישור המרוכב==
 +
 +
[[תמונה:complex_plane.png|ימין|400px]]
 +
 +
 +
כל מספר מרוכב <math>a+bi</math> מתאים לנקודה <math>(a,b)</math> במישור המרוכב.
 +
 +
ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.
 +
 +
 +
מתקיים:
 +
 +
 +
::<math>r=|z|</math>
 +
 +
::אם <math>a>0</math> אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>
 +
::אם <math>a<0</math>אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi</math>
 +
::אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math>
 +
::אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\varphi=-\frac{\pi}{2}</math>
 +
 +
 +
::<math>z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)</math>
 +
 +
 +
 +
הצורה <math>rcis(\varphi)</math> נקראת ה'''צורה הפולארית''' של המספר המרוכב, ואילו <math>a+bi</math> היא הצורה '''הקרטזית'''.

גרסה אחרונה מ־12:04, 11 באוגוסט 2022

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]


arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


תרגיל: הוכח כי sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}

תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

  • |cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}


  • sin(x^2+1)<0


  • sin(ax)>0


  • arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}


  • sin(2x) < 2sin(x)


  • \sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0


מספרים מרוכבים

ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית בקישור הבא.


תרגיל חשבו את z\cdot \overline{z}

פתרון z\cdot \overline{z} = a^2+b^2


הערה: נסמן |z|=\sqrt{a^2+b^2}


תרגיל הוכיחו שלכל מספר מרוכב z קיים מספר מרוכב z^{-1} כך ש z\cdot z^{-1} = 1.

פתרון: z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}


הערה: באופן כללי נסמן z^{-1}=\frac{1}{z}



תרגיל חשבו את הביטוי \frac{5+2i}{2-3i}



הגדרה: עבור מספר מרוכב z=a+bi

החלק הממשי Re(z)=a
החלק המדומה Im(z)=b


לדוגמא:


Im(a-bi) = -b


תרגיל: הוכיחו כי |z|\geq |Re(z)|


תרגיל: הוכיחו את אי-שיוויון המשולש |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|

המישור המרוכב

Complex plane.png


כל מספר מרוכב a+bi מתאים לנקודה (a,b) במישור המרוכב.

ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.


מתקיים:


r=|z|
אם a>0 אזי \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)
אם a<0אזי \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi
אם a=0 וגם b>0 אזי \varphi=\frac{\pi}{2}
אם a=0 וגם b<0 אזי \varphi=-\frac{\pi}{2}


z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)


הצורה rcis(\varphi) נקראת הצורה הפולארית של המספר המרוכב, ואילו a+bi היא הצורה הקרטזית.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/4&oldid=89360