הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/7"
מתוך Math-Wiki
(←תרגילים - אי שיוויונים) |
(←תרגילים - אי שיוויונים) |
||
(4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 9: | שורה 9: | ||
*כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי <math>P(n)</math> נכון, נוכל להוכיח כי <math>P(n+1)</math> נכון גם הוא | *כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי <math>P(n)</math> נכון, נוכל להוכיח כי <math>P(n+1)</math> נכון גם הוא | ||
+ | דוגמאות: | ||
+ | |||
+ | כמות הזוגות בקבוצה מגודל n | ||
+ | |||
+ | טבלאת שוקולד עם n קוביות | ||
==תרגילים - שיוויונים== | ==תרגילים - שיוויונים== | ||
שורה 44: | שורה 49: | ||
==תרגילים - אי שיוויונים== | ==תרגילים - אי שיוויונים== | ||
− | *<math>3^n+4^n<5^n</math> | + | *<math>3^n+4^n<5^n</math> לכל <math>n\geq 3</math> |
− | *<math>(1+x)^n\geq 1+nx</math> | + | *<math>(1+x)^n\geq 1+nx</math> לכל <math>-1<x\in\mathbb{R}</math> |
שורה 57: | שורה 62: | ||
*נניח <math>a_1=2</math> וגם <math>a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}</math>. הוכח כי <math>a_n<3</math> | *נניח <math>a_1=2</math> וגם <math>a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}</math>. הוכח כי <math>a_n<3</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math> |
גרסה אחרונה מ־13:01, 1 בספטמבר 2020
אינדוקציה מתמטית
בהנתן סדרת טענות , אנו מוכיחים לפי אינדוקציה כי כל הטענות נכונות אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
- הטענה הראשונה נכונה (כלומר, עבור n=1)
- כל טענה גוררת את הבאה אחריה. כלומר, לכל n אם נניח כי נכון, נוכל להוכיח כי נכון גם הוא
דוגמאות:
כמות הזוגות בקבוצה מגודל n
טבלאת שוקולד עם n קוביות
תרגילים - שיוויונים
- נתבונן בסדרת פיבונאצ'י בה כל איבר שווה לסכום שני קודמיו . הוכח כי
תרגילים - אי שיוויונים
- לכל
- לכל
- נניח וגם . הוכח כי