הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8"
מתוך Math-Wiki
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←2) |
Tomer Yogev (שיחה | תרומות) (←1) |
||
(גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף | *יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף | ||
+ | |||
*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף | *יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף | ||
+ | |||
*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף | *לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני. | ||
+ | |||
*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף | *יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף. | ||
+ | |||
*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף | *יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף. | ||
+ | |||
*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף | *יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף | ||
+ | ** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף. | ||
מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה. | מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה. | ||
− | |||
==2== | ==2== | ||
שורה 48: | שורה 58: | ||
*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math> | *<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math> | ||
+ | ** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}</math> | ||
*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math> | *אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math> | ||
+ | ** הוכחה: יהי <math>x \in C</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. נתון <math>C\cap A = \phi</math> לכן <math>x \not\in A</math> לכן <math>x \in B</math> | ||
*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math> | *<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math> | ||
+ | ** הפרכה: <math>A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B</math> | ||
*<math>C\backslash A \subseteq B</math> | *<math>C\backslash A \subseteq B</math> | ||
+ | ** הוכחה: יהי <math>x \in C\backslash A</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB. | ||
*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math> | *אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math> | ||
+ | ** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\empty,C=A</math> | ||
*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math> | *<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math> | ||
+ | ** הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם): | ||
+ | 1. אם <math>A \subseteq X</math> וגם <math>B \subseteq X</math> אז <math>A\cup B \subseteq X</math> | ||
+ | |||
+ | 2. <math>(A \backslash X) \cup X \supseteq A</math> | ||
*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math> | *<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math> | ||
+ | ** הוכחה: | ||
+ | אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב<math>A\cup B</math> לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין | ||
+ | יהי <math>x \in A\cup B</math>. אם <math>x \in C</math> אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, <math>x \not\in C</math>. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב<math>A\backslash C</math> ואם הוא בB אז הוא ב<math>B\backslash C</math>. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל |
גרסה אחרונה מ־08:05, 5 בספטמבר 2012
1
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"
- יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף
- יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
- לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף.
- יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
- לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף.
מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.
2
הגדרה:
קבוצת וקטורים נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם
אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:
- וקטורים המקיימים
- לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס
- וקטורים המקיימים
- לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)
- וקטורים המקיימים את התנאי- אם אזי
- כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם , אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.
- וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי
- לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור
3
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון .
הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:
- או
- הפרכה:
- אם אזי
- הוכחה: יהי . לכן לכן או . נתון לכן לכן
- אם ורק אם
- הפרכה:
-
- הוכחה: יהי . לכן לכן או . לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.
- אם אזי
- הפרכה:
-
- הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
1. אם וגם אז
2.
-
- הוכחה:
אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין יהי . אם אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, . לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב ואם הוא בB אז הוא ב. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל