הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - תרגול
(←פתרון) |
(←דוגמא 1) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 4: | שורה 4: | ||
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות. | עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות. | ||
− | === | + | ===דוגמא 1=== |
חשבו | חשבו | ||
<ol> | <ol> | ||
− | <li><math>\int\frac{ | + | <li><math>\int\frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math> |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נרשום את האינטגרל כ-<math>\int\frac{ | + | נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li> |
− | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x} | + | <li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx</math> |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 | + | נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 dy=dx</math> . נקבל <math>\int=\int\frac{(y^6-1)^2+y^3}{y^2}6y^5 dy=\int\left((y^6-1)^2+y^3\right)6y^3 dy=\dots</math> . {{משל}}</li> |
</ol> | </ol> | ||
==הצבות טריגונומטריות== | ==הצבות טריגונומטריות== | ||
− | כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. | + | כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math> . |
− | === | + | |
+ | ===דוגמא 2=== | ||
<ol> | <ol> | ||
− | <li><math>\int\frac{ | + | <li><math>\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math> |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | נעזר במשלש ישר | + | נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}</math> . נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies dt=\cos(y)dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math> . {{משל}}</li> |
− | <li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x | + | <li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x dx</math> |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies | + | שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies dx=\frac32\cos(y)dy</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}dy\\&=3\int\csc(y)dy-3\int\sin(y)dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}y=\int\frac{-dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math> . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li> |
− | <li><math>\int\frac{ | + | <li><math>\int\frac{dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math> |
+ | |||
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
− | ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{ | + | ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li> |
</ol> | </ol> | ||
==הצבות מיוחדות== | ==הצבות מיוחדות== |
גרסה אחרונה מ־19:26, 2 ביולי 2016
תוכן עניינים
אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמא 1
חשבו
-
פתרון
נרשום את האינטגרל כ- . מתבקשת ההצבה ולכן נקבל ומכאן קל למצוא את הפתרון. -
פתרון
נגדיר . נקבל .
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמא 2
-
פתרון
נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracx לא מוכרת): \tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}
. נקבל נציב אזי . -
פתרון
שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה אזי נותר לפתור עבור . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. -
פתרון
ראשית נציב . נציב נקבל: את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה ואז .
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן וגם .
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
-
פתרון
-
פתרון
נציב לפיכך .
מסקנה: כאשר יש ביטוי מהצורה ננסה להציב .
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב . אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו נציב או .
דוגמה 4
נחשב