הבדלים בין גרסאות בדף "הפולינום האופייני"
מתוך Math-Wiki
(←קשר בין פולינום אופייני לע"ע) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
(גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | [[קטגוריה:אלגברה לינארית]] | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
− | תהי A מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות: | + | תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית, אזי '''הפולינום האופייני''' שלה מוגדר להיות: |
− | + | :<math>f_A(x):=|xI-A|</math> | |
− | + | קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה <math>x</math> . | |
− | + | ||
− | קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x. | + | |
==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ==קשר בין פולינום אופייני לע"ע== | ||
כל התנאים הבאים שקולים: | כל התנאים הבאים שקולים: | ||
− | + | *<math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של המטריצה <math>A</math> | |
− | + | ||
− | *x | + | |
לפי ההגדרה: | לפי ההגדרה: | ||
− | + | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av=xv</math> | |
− | *קיים <math>v\ | + | |
מעבר אגפים: | מעבר אגפים: | ||
− | + | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>Av-xv=0</math> | |
− | *קיים <math>v\ | + | (דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:) |
− | ( | + | *קיים <math>v\ne0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math> |
− | + | ||
− | *קיים <math>v\ | + | |
לפי ההגדרה: | לפי ההגדרה: | ||
− | + | *קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math> | |
− | *קיים פתרון | + | |
משפט מלינארית 1: | משפט מלינארית 1: | ||
− | |||
*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | *המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה | ||
משפט מלינארית 1: | משפט מלינארית 1: | ||
− | |||
*<math>|A-xI|=0</math> | *<math>|A-xI|=0</math> | ||
לפי הגדרה: | לפי הגדרה: | ||
− | |||
*<math>f_A(x)=0</math> | *<math>f_A(x)=0</math> | ||
===משפט=== | ===משפט=== | ||
− | + | <math>x</math> הנו [[וקטור עצמי|ע"ע]] של <math>A</math> אם"ם <math>x</math> הנו שורש של הפולינום האופייני של <math>A</math> . | |
− | x | + |
גרסה אחרונה מ־14:19, 2 בספטמבר 2018
הגדרה
תהי מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:
קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה .
קשר בין פולינום אופייני לע"ע
כל התנאים הבאים שקולים:
- הנו ע"ע של המטריצה
לפי ההגדרה:
- קיים וגם
מעבר אגפים:
- קיים וגם
(דיסטריבוטיביות של כפל מטריצות:)
- קיים וגם
לפי ההגדרה:
- קיים פתרון לא־טריוויאלי במרחב האפס
משפט מלינארית 1:
- המטריצה אינה הפיכה
משפט מלינארית 1:
לפי הגדרה:
משפט
הנו ע"ע של אם"ם הנו שורש של הפולינום האופייני של .