הבדלים בין גרסאות בדף "אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה)
(ביטול גרסה 5876 של 87.68.229.138 (שיחה))
 
(798 גרסאות ביניים של יותר מ־100 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 23: שורה 23:
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב)
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 7| ארכיון 7]]''' - (מי עוקב)
  
−
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]'''  
+
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 8| ארכיון 8]]'''
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 9| ארכיון 9]]''' - לקראת הבוחן
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 10| ארכיון 10]]''' - פוסט בוחן
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 11| ארכיון 11]]''' - תרגיל 9
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 12| ארכיון 12]]''' - תרגיל 9
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
 +
 
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
  
−
'''תומר''' - לפני הבוחן , אתן לכם מעט מידע שניתן לחשוף : החומר לבוחן הוא כאמור כל החומר מתחילת הסמסטר , עד ולא כולל  , אינטגרלים לא אמיתיים . אין צורך בנוסחאות - הכל תקבלו בכתב , ולא מותר שום חומר עזר ! יש בחירה שנראית לנו הוגנת ומי שלמד כמו שצריך עד עכשיו רק ייצא נשכר .מי שנזכר רק עכשיו - לא צריך להילחץ , יש עוד זמן וזו תהיה נקודת זמן לקחת תצמו בידיים !  -  ורק תזכרו - מדובר רק בבוחן ! יש עוד דרך ארוכה עד סוף הסמסטר והמבחן הסופי . שיהיה בהצלחה לכולם !
+
==שאלה==
  
−
==שאלה - פונקציות טריגונומטריות ממעלה גבוהה==
+
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
−
נניח שאני רוצה לחשב את האינטגרל של סינוס בחמישית של x. האם "חוקי", בהנחה שהצבתי <math>sin(x)=t</math>, להסיק ש: <math>cos(x)=\sqrt{1-t^2}</math> להמשך ההצבה? אם לא, באילו דרכים נוספות (מלבד ההצבה האוניברסאלית שלא נראית יעילה במיוחד והנוסחא לחישוב סינוס ממעלה גבוהה) ניתן לחשב את האינטגרל?
+
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
−
:הערה : שמתי לב שמאחר וחזקת הסינוס היא אי-זוגית, נוח יותר להציב t=cosx. אני ממשיך לשאול את אותה שאלה באופן כללי.
+
  
−
===תשובה===
+
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
−
מוצאים את פיתרון האינטגרל על ידי הנוסחא הרקורסיבית:
+
 
−
[[http://upload.wikimedia.org/math/4/8/0/4805f6229810b464973a52e89f20bd3a.png]]
+
==שאלה==  
 +
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
 +
תודה
 +
 
 +
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
 +
 
 +
==שאלה==
 +
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
 +
 
 +
*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
 +
 
 +
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
 +
 
 +
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
 +
 
 +
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
 +
 
 +
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
 +
 
 +
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
  
−
אם אתה צריך לחשב את האינטגרל של cos(x( ממעלה מסויימת אתה יכול להמיר אותו לאינטגרלים של sin(x) או שאתה יכול להשתמש בנוסחא:
+
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
−
[[http://upload.wikimedia.org/math/6/c/c/6ccc9782d57f50a93575a81aba47acda.png]]
+
  
−
==שאלה בקשר לבוחן==
 
−
מה יהיו הנושאים בבוחן? איזה סוג של שאלות הוא יכלול? עברתי על כל התרגילים שנתנו עד כה (1-8), החל ממשפטי לגראנז' והערך הממוצע, דרך כלל לופיטל, חקירת פונקציות, טורי טיילור, עד לאינטגרלים הלא מסויימים, הצבות שונות, ולבסוף את כל הנושא של האינטגרביליות ועד לחישובים השונים של אינטגרלים מסויימים. אני די מתוסכל כי זה המון חומר ואשמח אם תוכלו לספק מידע, אפילו מועט, בנוגע לסוג השאלות שיופיעו בבוחן : האם תהיה בחירה? האם יהיו שאלות מסוג אמריקאי / נכון לא נכון? הוכח או הפרך? האם נצטרך לחקור פונקציות? תודה!
 
  
 +
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f  חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
ציינת יפה את רשימת החומר לבוחן.
 
  
−
יהיו שאלות הוכחה כלומר שאלות תאורטיות, ויהיו שאלות קצרות יותר בסגנון של הוכח הפרך (עם תשובה קצרה). צריך לדעת חקירת פונקציות, אבל לא נתן לכם לחקור פונקציה מלאה.
+
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :)
 +
לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
  
−
ותהרגו אותי אם אני מבין איך עוזר לכם לדעת אם תהיה בחירה או לא. אם המטרה היא לדלג על חומר מסוים מתוך ההנחה שתוכל לבחור לא לענות על שאלות בנושא, אני ממליץ לא לעשות את זה (כנראה שלא תהיה בחירה, וגם אם כן לא נאפשר לבחור בין נושאים שונים)
+
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
  
−
::הסיבה היא בעיקר להרגיע אותנו - יהיה לך קשה למצוא סטודנטים רציניים שלא לחוצים מהבוחן הקרוב. אח"כ, המטרה שלשמה שאלתי את השאלה היא כדי לנסות ולמקד את תהליך הלמידה - בבחנים משנים קודמות קשה מאוד למצוא שאלות 'תאורטיות' או שאלות מסוג 'הוכח או הפרך', כך שמלבד חישוב אינטגרלים, חקירת פונקציות וחזרה עמוקה על החומר והתרגילים אין יותר מדי דרכים להתכונן לבוחן...
+
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
  
−
:::אם תדע לפתור תרגילים כמו בתרגילי הבית מצבך יהיה טוב.
+
==שאלה מסודרת ==
 +
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
  
 +
===תשובה===
 +
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
 +
 +
:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
 +
::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
 +
 +
ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:
 +
 +
נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
 +
 +
ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
  
 +
ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
בתרגיל 8 שאלה 2, האם מותר להשתמש במשפט הערך הממוצע, ואז להראות שזה פשוט לא יכול להיות a או b?
+
למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g  ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לא כי זה פשוט לא נכון. קח את הפונקציה הקבועה. קח פונקציה אחרת שבמקרה מקבלת את הממוצע בקצוות...
+
המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
  
−
(מישהו אחר) אני השתמשתי במשפט הערך הממוצע, ואז אמרתי שאם הנקודה מתקבלת בקצוות אז יש עוד נקודה, באמצע, בעלת אותו ערך...
+
==שאלה==
  
−
:איך זה נובע מכך שזה הערך באחד הקצוות, שזה גם הערך בנקודה באמצע?
+
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
 +
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
 +
==שאלה==
 +
אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?
 +
:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
  
−
הוכחתי את זה... בגדול הרעיון הוא שאם כל הנקודות באמצע היו מעל/מתחת לערך המבוקש אז מגיעים לסתירה, ומכאן ממשיכים עם ערך הביניים
+
==שאלה==
 +
נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י  M. צ"ל שf^2  אינטגרבילית באותו קטע.
 +
יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?
 +
מהי הדרך?
  
−
==שאלונת==
+
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
−
האם אינטגרביליות של פונקציה בקטע [a,b] גוררת קיום של פונקציה קדומה בקטע זה? (ברור לי שההפך לא נכון, אבל בקשר לכיוון הזה אני לא בטוחה..)
+
  
−
===תשובה===
+
אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
−
בוודאי שלא, כי יכול להיות שהאינטגרבילית מכילה אי רציפות סליקה או ממין ראשון ולכן אין לה קדומה. למשל פונקציה קבועה עם קפיצה בנקודה אחת, אין לה קדומה.
+
 
 +
תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות  של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...
 +
 
 +
(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.
 +
f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.
 +
בקשר אליו, קל להראות ש
 +
 
 +
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן  קל להמשיך.
 +
 
 +
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
 +
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
ראיתי שבפתרון לתרגיל 6 שאלה 2 התשובה מבוססת על סכום דרבו עליון. האם זה בסדר שההוכחה שלי מבוססת על הטענה שאי-שוויון ברמת הפונקציות גורר אי-שוויון ברמת האינטגרל, (כמובן תוך שימוש באותה הנחה בפתרון שנתתם, ובכך שהיא מובילה לקיומה של סביבה בה הפונקצייה חיובית), כך שפרקתי את האינטגרל ל-3 אינטגרלים (שניים מחוץ לסביבה החדשה שבה הפונקצייה חיובית, ואחד בתוכה), ואם האינטגרל המקורי שווה לאפס, ושני האינטגרלים מחות לסביבה אי-שליליים, והאינטגרל בסביבה חיובי ממש, אז קבלנו ש- 0<0.
+
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. 
 +
- האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq  מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
נשמע תקין
+
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
 +
 
 +
אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
פונקציה לה יש מס' סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון היא אינטגרבילית. האם זה נכון לכל פונקציה שיש לה מס' סופי של נק' אי רציפות? (למשל סליקה או ממין שני)
+
נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:
 +
cosx+quad(f,0,x)-1=0.
 +
(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)
 +
מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?
 +
::מישהו??
  
−
==
+
 
−
אם f(x)>=m>0 אז ברור שהאינטגרל של f(x) גדול מ0. אבל אם סתם ידוע שf(x)>0 בכל הקטע [a,b] אפשר לומר שהאינטגרל גדול ממש מ0 בקטע הזה?
+
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
 +
 
 +
==שאלה==
 +
מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.
 +
:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
 +
 
 +
==שאלות מעניינות==
 +
* הוכח או הפרך:
 +
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
 +
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
 +
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
 +
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
 +
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
 +
 
 +
תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ...
 +
לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
 +
 
 +
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)
 +
 
 +
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
 +
 
 +
::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?
 +
 
 +
 
 +
(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
 +
 
 +
תודה רבה :)
 +
 
 +
זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
 +
 
 +
: אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
 +
 
 +
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
 +
::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
 +
 
 +
:(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.
 +
ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
 +
 
 +
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
 +
:: תודה לשניכם :)
 +
 
 +
==שאלות.==
 +
*arctanx  חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
 +
*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
 +
*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
 +
*בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
 +
 
 +
וזהו, תודה רבה!
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לפי משפט לבג פונקציה שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה הן ממידה 0 (כלומר עוצמת א_0 או סופי) הינה אינטגרבילית, ללא קשר לסוג אי הרציפות.
+
*כן הוא חיובי.
 +
*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
 +
*נכון.
 +
*נכון
  
−
עשינו את זה בכיתה. אם f>0 ואינטגרבילית, לפי לבג יש לה לפחות נקודת רציפות אחת. נניח שבנקודה הזו הערך של הפונקציה הינו m>0. לכן בסביבת דלתא הפונקציה גדולה מm/2 ולכן האינטרגל שם גדול מm/2 כפול דלתא וזה בוודאי גדול ממש מאפס.
+
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
−
:::אבל.. מספיק שתהיה לי נק' אי רציפות אחת ממין שני כדי שהפונקציה לא תהיה חסומה ולכן לא אינטגרבילית.
+
:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
−
:::: משפט לבג אכן מניח שהפונקציה תהיה חסומה. כעת, מי אמר שאי רציפות ממין שני גוררת אי חסימות? בוודאי זה לא נכון.
+
::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
  
−
==שאלה על הבוחן==
+
:כי ln שלילית בקטע הזה.
−
האם יש בבוחן דף נוסחאות של האינטגרלים? תודה
+
::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
  
−
:תקרא את מה שתומר רשם למעלה
+
:נכון
  
−
::'''שאלה נוספת''' - האם מותר להשתמש במשפטים שהוכחנו בתרגיל? (למשל בתרגיל 7, שאלה 1 a)
+
==שאלה==
 +
התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?
 +
:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
  
−
::: אם אתה יודע לצטט נכון את המשפט, וברור שהוא לא עיקר התרגיל אז כן. אפשר גם לצטט דברים שעשינו בכיתה.
+
==שאלה==
 +
*הסתבכתי,אפשר עזרה?
 +
*נניח שהפונקציה f  מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.
  
−
==שאלה-תרגיל 7 שאלה 1 b==
 
−
בתשובות כתוב ש-f לא בהכרח רציפה על כל הממשיים, אבל הדוגמה לא טובה.
 
−
ה-f ששמתם לא רציפה עם מחזור 2 כמו שכתבתם: <math>-1=f(-1)=/=f(-1+2)=f(1)=1</math>.
 
  
 +
:השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?
 +
תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
 +
 +
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
 +
 +
: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d  בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
 +
 +
 +
 +
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
 +
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
צודק, טעות שלי, אני אפרסם תיקון לפתרון. הפונקציה כן רציפה בכל הממשיים כי בנקודות הבעיתיות מהצורה
+
אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.  
−
<math>(2k-1)L</math> הגבול מימין שווה לגבול משמאל שווה לערך הפונקציה בנקודה L.
+
  
−
==שאלה - תרגיל 6, שאלה 4==
+
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
−
מהו n? האם לכל x בוחרים n מתאים? בכל מקרה, איך אפשר בכלל להוכיח שהפונקצייה הזו מונוטונית עולה?
+
 
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM
 +
<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
 +
 
 +
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן
 +
<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
 +
 
 +
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
 +
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
 +
 
 +
==שאלה==
 +
אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?
 +
וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לכל n טבעי אם x נמצא בתחום הרשום אזי ערך הפונקציה הוא כפי שרשום. זוהי כמובן פונקצית מדרגות.
+
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
  
−
==תרגיל 8 שאלה 7==
 
−
בסעיף 7b זו לא טעות? כי הגבול שם הוא שאפסילון שואף לאינסוף, ובתרגיל הם רוצים ל-0+..התשובה נכונה רק הגבול לא..
 
  
−
:כן, סתם שגיאת דפוס.
+
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
  
−
==שאלה - אינטגרביליות==
+
אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2)    s
−
תהי f אינטגרבילית בקטע I, ו-g רציפה בקטע I.
+
היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)
−
האם הרכבה של g על f אינטגרבילית?
+
מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
−
:(לא ארז/תומר). כן.. לדוגמה, פונקצית הערך המוחלט
+
−
::ברור, פשוט שאלתי את זה כי ראיתי שלפי מה שרוני לימד אותנו בהרצאה g צריכה להיות רציפה '''על הקטע''' (חשבתי שיכול להיות שלמילה '''על''' יש משמעות במובן של כיסוי)
+
  
−
:::לא מקשיבים בתרגיל? הרי פתרנו את זה בשיעור. כן ההרכבה אינטגרבילית
 
  
−
==תרגיל שלא הבנתי==
+
:אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
−
האם יש קדומה לפונקציה הבאה ב (אינסוף,0]?- 
+
−
כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי וכש X=0 זה 0
+
  
−
(לא ארז/תומר) לא, כי הפונקציה אינה מקיימת את תכונת ערך הביניים. למשל, בקטע [0,1] מתקיים f(0)=0, f(1)=e^1/2 אבל אין x בקטע עבורו f(x)=1.
+
כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור
 +
מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
  
−
תודה=] ואם הפונקציה הייתה רק כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי, אז כן הייתה קדומה?
+
:כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
 +
 
 +
סבבה תודה רבה
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם יהיה מותר מחשבון בבוחן? אנחנו מאוד נודה לכם אם כן. לעיתים יש חישובים קטנים שלעיתים נשכחים מהראש שלנו, למשל tan של ביטוי פשוט המכיל פאי וכו'.. בבוחן באינפי 1 למשל היה מחדל בעניין הזה.
 
−
:יש לי הצעה (במקום מחשבון) - אולי יש אפשרות שאם מישהו במקרה שכח מה זה <math>arctan(1)</math>, למשל, אז תהיה אפשרות שהמתרגלים בסביבה יוכלו לעזור לו?
 
  
 +
המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???
  
−
===תשובה===
+
כן, שעתיים
−
תראו, אתם בשלב הזה כבר צריכים לדעת את הדברים האלה לבד. אני לא בטוח אם יהיה מחשבון או לא, נחליט את זה בהמשך, אבל בכל מקרה אתם צריכים בהחלט לדעת לבד מה זה arctang(1). אתם צריכים לדעת מתי הסינוס עולה, מתי הוא יורד, מתי הוא שווה לקוסינוס, מתי הוא שווה 1 מינוס 1 וכו'.
+
−
:אבל ארז, בשיא הכנות.. בזמן הבוחן אנחנו נורא לחוצים - הרוב המוחלט שלנו. לעיתים אנחנו שוכחים דברים קטנים מסוימים.. בתיכון היינו מורגלים לעבוד עם מחשבון וגם במהלך הסמסטר. זה לא דברים שקשורים לקורסים - אלו סתם דברים חישוביים.. זה נורא יקל עלינו אם תרשו לנו להשתמש במחשבון.. באמת שאני לא מבין איפה הבעיה. (לא מחשבונים משוכללים.. המחשבון הרגיל והפשוט..). מלבד העניין של הסינוסים - גם בפתירת אינטגרלים מסוימים מחשבון עשוי להקל. (בכל מיני חישובים מספריים שהאינטגרל המסוים דורש מאיתנו.. בשלב הסופי)
+
  
−
==שאלה - חילוף משתנה לאינטגרל==
+
==שאלה==
−
בעצם נוסחאת חילוף המשתנה באינטגרל מסוים היא בדיוק כמו שיטת ההצבה, רק שצריך להקפיד על כמה תנאים?
+
 
−
(גזירות ברציפות של הפונקצייה שמציגה את x לפי t (שנסמנה ב-<math>x(t)</math>), חסימות של <math>x(t)</math> בין גבולות האינטגרצייה, ומוגדרות הפונקצייה <math>x(t)</math> ב-a וב-b)
+
למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?
 +
:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
 +
 
 +
==התכנסות אינטגרלים==
 +
האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???
 +
* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.
 +
* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>
 +
* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.
 +
האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-
 +
<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
  
−
אני אוסיף שאלה נוספת - רק כדי להיות בטוח - באינטגרצייה בחלקים באינטגרל מסוים הדרישה היחידה היא גזירות ברציפות של f,g, נכון?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לדעתי חילוף משתנה ושיטת ההצבה אלה שמות שונים של אותה שיטה (אני לא בטוח איך למדתם בהרצאה). התנאים שאמרת מספיקים אך לא הכרחיים. העיקר הוא שהפונקציה <math>f(g)g'</math> תהיה אינטגרבילית (אם מדובר על האינטגרל המסוים).
+
לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
  
−
אם f וg גזירות ברציפות זה תנאי מספיק על מנת לשתמש באינטגרציה בחלקים.
+
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
  
−
בדף הנוסחאות שיהיה- תוכלו לשים את פולינום טיילור? הוא גם נוסחה.... ואילו עוד נוסחאות יהיו בו? ושל אילו אינטגרלים?תודה..
+
==שאלה==
 +
 
 +
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
 +
 
 +
צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
 +
 
 +
חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני
 +
 
 +
 
 +
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
 +
 
 +
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.  
 +
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע  g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
 +
 
 +
תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אני לא בטוח לגבי ההבנה שלי במשמעות של נק' קיצון ונק' פיתול, אשמח לבירור. נניח שאני מגדיר F להיות ב0 אפס, ובכל נק' אחרת x^2*sin 1/x. האם יש לF נק' קיצון? ופיתול?
+
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.  
 +
f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
 +
 
 +
בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0
 +
 
 +
ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.
 +
מישהו?
 +
אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
 +
 
 +
:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
 +
 
 +
עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
 +
 
 +
:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
 +
 
 +
== תרגיל 11 ==
 +
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 
 +
 
 +
:ארכיון 16...
 +
 
 +
==שאלה==
 +
מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
 +
 
 +
מצטרף!!
 +
 
 +
תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות .
 +
יש חדש?
 +
 
 +
==שאלה==
 +
אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.
 +
התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
 +
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
תבדוק אל מול ההגדרות:
+
לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.
 +
:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
  
−
*האם בסביבה (מנוקבת) של 0 כל הנקודות גבוהות מערך הפונקציה באפס? האם כולן נמוכות ממנו? (קיצון)
+
::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
 +
:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)
  
−
*האם הפונקציה גבוה מהמשיק בסביבה בצד אחד, ונמוכה מהמשיק בסביבה בצד השני? (פיתול)
+
אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא  אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?
 +
:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
 +
 
 +
::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
 +
 
 +
:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
 +
מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
  
−
צריך לזכור נגזרות של כל מיני פונקציות?
+
===תשובה===
−
כלומר, נגזרת של פולינום ופונקציה רציונלית כמובן שכן, אבל כל הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות וההפוכות שלהן - הנגזרות שלהם נורא דומות ומאוד מבלבלות. עדיין נצטרך לזכור אותן?
+
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
  
−
מצטרף! אלו פונקציות שלא ראינו בתיכון, ותאמינו לי, שאת כל הנגזרות של הפונקציות הרציונליות אני יודע רק מהתיכון.....
+
אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
−
והצבות טיילור והצבות שפיתחנו.. (נגיד כשמציבים tg(x/2) אז הגענו למשהו שצריך להציב במקום הsin והcos..) נצטרך לזכור או שזה יהיה בדף נוסחאות?
+
 
 +
==שאלה==
 +
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אתם צריכים לזכור (כי אתם תלמידי מתמטיקה ונשמח מאד אם נוסיף לכם ידע מעבר לתיכון). חוצמזה, כנראה שרוב הדברים הרלוונטיים יהיו בדף הנוסחאות. בלי קשר (או עם) חשוב לזכור נוסחאות טריגונומטריות שלא יהיו בדף הנוסחאות.
+
כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
 +
 
 +
== :)==
 +
שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
 +
 
 +
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
 +
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
 +
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
 +
 
 +
==לארז ולתומר==
 +
רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה  ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
 +
 
 +
 
 +
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
 +
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
 +
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
 +
 
 +
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
 +
 
 +
 
 +
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
 +
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר...  לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
 +
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
 +
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 
 +
 
 +
===תשובה===
 +
אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים
 +
* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
 +
 
 +
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
 +
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
 +
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
 +
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
 +
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
 +
 
 +
 
 +
מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!
 +
:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
 +
::מתי יעלו ציוני תרגיל?
 +
 
 +
:::אנחנו נעלה אותם היום
 +
==יש לי שאלה==
 +
האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס
 +
(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
 +
 
 +
===תשובה===
 +
כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
בהצבות מסוג t=g(x) או x=g(t). באינטגרל הלא מסוים כאשר אני רוצה למצוא את הגבולות החדשים. אז בכל אחת מההצבות אני פשוט מחפשת את הt שעבורו t=g(a) וt=g(b) או במקרה השני a=g(t) או b=g(t)? כלומר.. אני תמיד מציבה את הגבולות המקוריים במקום הX ומחפשת את הt כדי להגיע לגבולות החדשים?
+
 
 +
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S
 +
 
 +
:זו שאלה פילוסופית?
 +
 
 +
==הודעה==
 +
 
 +
יש ציונים!!
 +
== מבחן ==
 +
היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
 +
 
 +
מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא
 +
בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
 +
 
 +
:תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.

גרסה אחרונה מ־11:47, 1 בספטמבר 2010

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

ארכיון 15 - תרגיל 10

ארכיון 16 - לקראת המבחן

ארכיון 17 - לקראת המבחן

שאלות

שאלה

יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?

לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא

תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !

שאלה

תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות? תודה

תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.

שאלה

נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?

  • נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.

ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?

  • ברור שלא.... אינפי 1. fn=(-1)^n לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.

יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???

  • נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).

שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.

  • הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.


למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???

תשובה

תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .

אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .

לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .

שאלה מסודרת

נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...

תשובה

(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).

אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.

ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:

נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (f(x0 שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.

ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.

ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x

שאלה

למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??

תשובה

המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.

שאלה

בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?

[לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1

שאלה

אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?

הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?

שאלה

נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע. יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? מהי הדרך?

הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)

אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?

תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...

(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני. בקשר אליו, קל להראות ש

w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.

מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים: f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור

שאלה

התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..

תשובה

אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא שואף לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות \frac{1}{n}).

אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס \frac{1}{n} בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.

שאלה

נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0. (קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.) מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?

מישהו??


אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס

שאלה

מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.

כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.

שאלות מעניינות

  • הוכח או הפרך:

תהי f_n(x) סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה f, אשר גם גזירה ברציפות,ב-[a,b]. אזי ש- f_n' \rightarrow f' במ"ש על הקטע [a,b].

  • בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x), כך ש-a_n(x)>0 והטור מתכנס ב-I.

מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש. נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)

תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .

שאלה

שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:

int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)

ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה

מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?


(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים

תודה רבה :)

זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף

אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.

ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...

האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
תודה לשניכם :)

שאלות.

  • arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
  • במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
  • כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
  • בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?

וזהו, תודה רבה!

תשובה

  • כן הוא חיובי.
  • אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
  • נכון.
  • נכון
כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
כי ln שלילית בקטע הזה.
אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
נכון

שאלה

התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?

כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט

שאלה

  • הסתבכתי,אפשר עזרה?
  • נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.


השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?

תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)

שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
(לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).


אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?

הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.

תשובה

אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.

הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר |f(x)|<1, והוא מתכנס במ"ש כאשר |f(x)|<r<1 אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.


  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה |f(x)|<r<1 כל שצריך הוא מבחן הM

|f(x)^n|<r^n.

  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי |f(x)|<1 כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור \sum |f^n(x)|=\sum a^n כאשר |f(x)|=a<1 וזה כמובן מתכנס.
  • טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
  • על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה x_n כך ש f(x_n) \rightarrow 1 ולכן

\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty

(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי f(x_n)\rightarrow 1)

שאלה

אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע? וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf

תשובה

הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])


לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17

אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) s היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס) מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?


אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.

כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)

כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...

סבבה תודה רבה

שאלה

המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???

כן, שעתיים

שאלה

למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?

אתה מתכוון ל\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי \sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty)

התכנסות אינטגרלים

האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???

  • \int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta.
  • \int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}
  • \int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr.

האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש- \int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2, ואז עפ"י השוואה???


תשובה

לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)

בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם \frac{1}{1-x}

שאלה

נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.

צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.

חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני


אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?

(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.

תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...

שאלה

צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s

בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0

ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי. מישהו? אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?

(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...

עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?

תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.

תרגיל 11

מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 

ארכיון 16...

שאלה

מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?

מצטרף!!

תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . 

יש חדש?

שאלה

אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?


תשובה

לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.

השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)

אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?

זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.

שאלה

מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....

תשובה

נניח ויש לך טור מתכנס g=\sum f_n. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי g' = \sum f_n'. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.

אינטגרציה זה דומה \int g = \sum \int f_n

שאלה

אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?

תשובה

כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.

:)

שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)

תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)

תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
ושיהיה בהצלחה לכולם!

לארז ולתומר

רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!


מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...

מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..

מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)

תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)


אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P= אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך. כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם! תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 

תשובה

אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים

  • הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ולא להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
  • שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
    • שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
    • שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
    • יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
    • שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...


מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!

זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
מתי יעלו ציוני תרגיל?
אנחנו נעלה אותם היום

יש לי שאלה

האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס (הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?

תשובה

כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)

שאלה

למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S

זו שאלה פילוסופית?

הודעה

יש ציונים!!

מבחן

היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?

מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...

תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אינפי_2_לתיכוניסטים_תש%22ע_-_שאלות_ותשובות&oldid=5877