הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון מטריצה"

גרסה אחרונה מ־11:55, 25 באוקטובר 2012

הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית

משפט.

תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב $\mathbb{F}^n$ כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.

הוכחה.

ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

D=P^{-1}AP

נכפול משמאל במטריצה P לקבל

PD=AP

נסמן את עמודות המטריצה P ב $C_1,...,C_n$ ואת איברי האלכסון של D ב $d_1,...,d_n\in\mathbb{F}$ .

לפי שיטת כפל עמודה עמודה אנו שמים לב כי השיוויון

PD=AP

שקול לכך שלכל i מתקיים

AC_i=d_iC_i

ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש $C_i\neq 0$ כיוון שP הפיכה).

בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב $\mathbb{F}^n$ .

סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.

בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים

PD=AP

כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל

D=P^{-1}AP

כלומר A לכסינה.

דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

A=PDP^{-1}

ולכן

A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1}

אבל

P^{-1}\cdot P=I

לכן סה"כ אנחנו מקבלים

A^k=PD^kP^{-1}

כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.

@@ שורה 2: / שורה 2: @@
 אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה]] למטריצה אלכסונית
+'''משפט.'''
+תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.
+'''הוכחה.'''
+ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:
+::<math>D=P^{-1}AP</math>
+נכפול משמאל במטריצה P לקבל
+::<math>PD=AP</math>
+נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n\in\mathbb{F}</math>.
+לפי שיטת '''כפל עמודה עמודה''' אנו שמים לב כי השיוויון
+::<math>PD=AP</math>
+שקול לכך שלכל i מתקיים
+::<math>AC_i=d_iC_i</math>
+ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש <math>C_i\neq 0</math> כיוון שP הפיכה).
+בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב <math>\mathbb{F}^n</math>.
+סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.
+בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים
+::<math>PD=AP</math>
+כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל
+::<math>D=P^{-1}AP</math>
+כלומר A לכסינה.
 ==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==

הבדלים בין גרסאות בדף "לכסון מטריצה"

גרסה אחרונה מ־11:55, 25 באוקטובר 2012

דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים