הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה 4)
מ (←‏שאלה 4)
 
שורה 25: שורה 25:
  
 
א. הוכיחו שאם <math>\left( E_n \right)_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר <math>E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots</math>), ואם <math>\mu \left(E_1 \right)<\infty</math>, אזי
 
א. הוכיחו שאם <math>\left( E_n \right)_{n=1}^\infty</math> היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר <math>E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots</math>), ואם <math>\mu \left(E_1 \right)<\infty</math>, אזי
−
<math>\mu \left( \cap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)</math>  
+
<math>\mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)</math>  
  
 
('''הדרכה:''' נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)
 
('''הדרכה:''' נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)

גרסה אחרונה מ־11:47, 11 בנובמבר 2012

שאלה 1

הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).


שאלה 2

א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית C (זו מהתרגול) היא קומפקטית.

ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").

ג. הראו שקבוצת קנטור אינה איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב-\mathbb{R} אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)

ד. הוכיחו כי \frac{1}{4} \in C, למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות C_n (רמז: נסו לפתח את רבע בבסיס 3).


שאלה 3

תהי X קבוצה כלשהי, ו- \Sigma \subseteq \mathcal{P}(X) אוסף תתי הקבוצות של X שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר E \in \Sigma או"א E בת מנייה, או X\setminus E בת מנייה).

א. הוכיחו כי \Sigma היא \sigma-אלגברה מעל X.

ב. נגדיר \mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty] ע"י \mu \left( E \right)=\begin{cases} 0&|E| \leq \aleph_0 \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}. הוכיחו כי זו מידה.


שאלה 4

יהי (X,\Sigma,\mu) ממ"ח.

א. הוכיחו שאם \left( E_n \right)_{n=1}^\infty היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots), ואם \mu \left(E_1 \right)<\infty, אזי \mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)

(הדרכה: נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)

ב. הראו שהדרישה \mu \left( E_1 \right)< \infty היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית).

בהצלחה!

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-341_תשעג_סמסטר_א/תרגילים/תרגיל_2&oldid=28182