הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/1/פתרון"
מתוך Math-Wiki
(←2) |
|||
(3 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 14: | שורה 14: | ||
<math>V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\}</math> | <math>V_2=N(2\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}=span\{(0,0,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | ===ב=== | ||
+ | |||
+ | <math>p_A(x)=\det|xI-A|=\det\begin{pmatrix}x-1 & -1 & -1 \\ -1 & x-1 & -1 \\ -1 & -1 & x-1\end{pmatrix} = | ||
+ | |||
+ | \det\begin{pmatrix}0 & -1+(x-1)^2 & -1-(x-1) \\ -1 & x-1 & -1 \\ 0 & -1-(x-1) & x\end{pmatrix} | ||
+ | = | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math>=\det\begin{pmatrix}x^2-2x & -x \\ -x & x\end{pmatrix}=x(x^2-2x)-x^2 = x^2(x-3)</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן הע"ע הינם 0,3 | ||
+ | |||
+ | המרחבים העצמים הינם | ||
+ | |||
+ | <math>V_0=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}-1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & -1\end{pmatrix}=span\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | <math>V_3=N(0\cdot I - A) = N\begin{pmatrix}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{pmatrix}=span\{(1,1,1)\}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===ג=== | ||
==2== | ==2== | ||
+ | |||
+ | ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים | ||
+ | ::<math>av_1+bv_2=0</math> | ||
+ | |||
+ | נכפול במטריצה A משמאל לקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>aAv_1+bAv_2=0</math> | ||
+ | |||
+ | ולכן | ||
+ | |||
+ | ::<math>ax_1v_1+bx_2v_2=0</math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש<math>x_1\neq x_2</math>, בלי הגבלת הכלליות נניח כי <math>x_1\neq 0</math> ונחלק בו | ||
+ | |||
+ | ::<math>av_1+b\frac{x_2}{x_1}v_2=0</math> | ||
+ | |||
+ | וביחד עם המשוואה הראשונה <math>av_1+bv_2=0</math> נקבל | ||
+ | |||
+ | ::<math>b(\frac{x_2}{x_1}-1)v_2=0</math> | ||
+ | |||
+ | וכיוון ש<math>v_2</math> וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש <math>x_1\neq x_2</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{x_2}{x_1}-1\neq 0</math> | ||
+ | |||
+ | וביחד יוצא | ||
+ | |||
+ | ::<math>b=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן | ||
+ | |||
+ | <math>av_1=0</math> | ||
+ | |||
+ | כיוון ש <math>v_1\neq 0</math> (כי הוא וקטור עצמי) אזי | ||
+ | |||
+ | <math>a=0</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | וסה"כ הוקטורים בת"ל. | ||
+ | |||
+ | ==3== | ||
+ | לפי משפט מלינארית 1, <math>rank(AB)\leq rank(A)</math>. במקרה זה, כאשר מדובר בוקטור בשורה מתקיים | ||
+ | |||
+ | <math>rank(v^Tv)\leq 1</math> |
גרסה אחרונה מ־13:43, 14 בנובמבר 2012
פתרון לתרגיל 1
1
נחשב את הפולינום האופייני ונמצא את השורשים שלו, הם הערכים העצמיים. לכל ערך עצמי נחשב את המרחב העצמי המתאים לו.
א
ולכן הערכים העצמיים הינם 1,2
המרחבים העצמיים הינם:
ב
ולכן הע"ע הינם 0,3
המרחבים העצמים הינם
ג
2
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של הוקטורים
נכפול במטריצה A משמאל לקבל
ולכן
כיוון ש, בלי הגבלת הכלליות נניח כי ונחלק בו
וביחד עם המשוואה הראשונה נקבל
וכיוון ש וקטור עצמי ולכן שונה מאפס, וכיוון ש
וביחד יוצא
לכן
כיוון ש (כי הוא וקטור עצמי) אזי
וסה"כ הוקטורים בת"ל.
3
לפי משפט מלינארית 1, . במקרה זה, כאשר מדובר בוקטור בשורה מתקיים