הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "== שאלה 1 == יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פוק...") |
(←שאלה 2) |
||
(2 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 2: | שורה 2: | ||
יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: | יהי <math>(X,S)</math> מרחב מדיד, ותהי <math>E \subseteq X</math>. הוכיחו: | ||
− | <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> | + | <math>E</math> מדידה <math>\iff</math> פונקציית האינדיקטור <math>I_E:X \rightarrow \mathbb{R}</math> היא מדידה. |
== שאלה 2 == | == שאלה 2 == | ||
שורה 8: | שורה 8: | ||
אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | אם <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> תת קבוצה צפופה של <math>\mathbb{R}</math>, ולכל <math>\alpha \in E</math> אחד מהתנאים <math>(i),(ii),(iii),(iv)</math> מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה. | ||
+ | |||
+ | '''רמז''': לכל <math>\alpha \in \mathbb{R}</math> יש סדרת נקודות <math>\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty</math> ב-<math>E</math> המתכנסת אליה. | ||
== שאלה 3 == | == שאלה 3 == | ||
− | יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. | + | יהיו <math>(X,S)</math> מ"מ, <math>f:X \rightarrow \mathbb{R}</math> מדידה, ו-<math>g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math> רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, <math>g \circ f</math> היא פונקציה מדידה. |
('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). | ('''הערה:''' תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות <math>\sin(2x),\cos(x)+1</math> מהתרגול הן מדידות). |
גרסה אחרונה מ־13:40, 18 בנובמבר 2012
שאלה 1
יהי מרחב מדיד, ותהי . הוכיחו:
מדידה פונקציית האינדיקטור היא מדידה.
שאלה 2
בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים יתקיים לכל . הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:
אם תת קבוצה צפופה של , ולכל אחד מהתנאים מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.
רמז: לכל יש סדרת נקודות ב- המתכנסת אליה.
שאלה 3
יהיו מ"מ, מדידה, ו- רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, היא פונקציה מדידה.
(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות מהתרגול הן מדידות).
שאלה 4
תהי מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):
א.
ב.
שאלה 5
יהי מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם מדידה ומקיימת לכל , אזי הפונקציה גם היא מדידה.
בהצלחה!