הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:89-214 הדרכות והסברים"
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) (תרגיל 9) |
|||
(15 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 3: | שורה 3: | ||
== 5.3.9 == | == 5.3.9 == | ||
הבהרה לגבי חבורת קיילי (<math>K</math>) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של <math>S_4</math>. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך. | הבהרה לגבי חבורת קיילי (<math>K</math>) - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של <math>S_4</math>. אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך. | ||
+ | |||
+ | '''הבהרה נוספת:''' מכיוון ש <math>A_4\leq S_4 </math>, אם תסתכלו על <math>K</math> כעל תת-חבורה של <math>S_4</math> הדוגמה הנגדית שתמצאו תשאר להיות נכונה. לכן, בפועל על מנת לפתור את השאלה הזאת אין צורך לדעת מה זה <math>A_4</math>. | ||
== 5.3.13 == | == 5.3.13 == | ||
היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של <math>G</math> שמוכלות ב <math>H</math>. זאת אומרת, לכל תת-חבורה <math>N</math> נורמלית של <math>G</math> שמוכלת ב <math>H</math>, מתקיים <math>N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg </math> | היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של <math>G</math> שמוכלות ב <math>H</math>. זאת אומרת, לכל תת-חבורה <math>N</math> נורמלית של <math>G</math> שמוכלת ב <math>H</math>, מתקיים <math>N\leq \cap_{g\in G} g^{-1}Hg </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה:''' אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד <math>a,b,c\in G</math> אז זה חיתוך של | ||
+ | קבוצה שנראית ככה: | ||
+ | <math>ah_{1}a^{-1} , ah_{2}a^{-1}\dots</math> עם קבוצה שנראית ככה: | ||
+ | <math>bh_1b^{-1} , bh_2b^{-1}\dots</math> וכו'. | ||
+ | |||
+ | '''תשובה:''' | ||
+ | איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון. | ||
+ | |||
+ | '''שאלה קטנה נוספת:''' | ||
+ | אז לא צריך להוכיח שהיא תת חבורה? רק נורמליות ואז להראות מקסימליות? | ||
+ | |||
+ | '''תשובה לשאלה הקטנה:''' צריך. שים לב שההוכחה לוקחת בערך שורה. | ||
== 5.3.11 == | == 5.3.11 == | ||
− | הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה <math>\{g^2:g\in G \}</math>. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה <math>a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G </math>. אין צורך להוכיח זאת | + | הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה <math>\{g^2:g\in G \}</math>. זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה <math>a^2_{1}\dots a^2_{k}, a_i\in G </math>. אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית. |
== 5.3.14 == | == 5.3.14 == | ||
שורה 16: | שורה 32: | ||
שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש <math>G^n</math> היא תת-חבורה של <math>G</math>. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון. | שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש <math>G^n</math> היא תת-חבורה של <math>G</math>. בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון. | ||
+ | |||
+ | == 5.4.10 == | ||
+ | אם אתם מתסבכים אם <math>U_{15}</math>, ניתן לקחת חבורה אחרת. הצעה - קחו <math>\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4</math>. (שהיא איזומורפית ל <math>U_{15}</math> ) | ||
+ | |||
+ | = תרגיל 6 = | ||
+ | שימו לב לכמה נקודות. | ||
+ | |||
+ | 1) <math>\mathbb{Z} / n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_n</math>. שימו לב, בתרגולים הראשונים כך הגדרנו את <math>\mathbb{Z}</math> בלי לציין שזו מנה. | ||
+ | |||
+ | 2) כאשר אתם מקבלים חבורה ולא מציינים את הפעולה - בד"כ מדובר בחבורה שכבר ראיתם, כי רק היא מגדירה חבורה באופן טבעי. למשל, על <math>\mathbb{R}^*</math> אתם לא מכירים שום פעולה חוץ מכפל. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''שאלה''': האם ניתן להעזר בפונקציית אויילר בשביל לפתור את שאלה 6? | ||
+ | |||
+ | =תרגיל 9= | ||
+ | ==חלק 1 שאלה 3== | ||
+ | הדרכה לתרגיל: עברו על האפשרויות השונות לחבורות אבליות מסדר 62, וחפשו בהן את החבורות המקיימות את התנאים שבשאלה. |
גרסה אחרונה מ־13:22, 21 בינואר 2013
תוכן עניינים
תרגיל 5
5.3.9
הבהרה לגבי חבורת קיילי () - אם תשימו לב, בתרגיל 5.5 יש תרגיל שמבקש להוכיח שזו היא תת-חבורה נורמלית של . אתם רשאים להתשתמש בעובדה זו כמשפט. ייתכן שנוכיח אותה בתרגול או ניתן כתרגיל בית בהמשך.
הבהרה נוספת: מכיוון ש , אם תסתכלו על כעל תת-חבורה של הדוגמה הנגדית שתמצאו תשאר להיות נכונה. לכן, בפועל על מנת לפתור את השאלה הזאת אין צורך לדעת מה זה .
5.3.13
היכנם מתבקשים להראות מצד אחד שהליבה היא תת-חבורה נורמלית, ומצד שני שהיא מקסימלית ביחס להכלה מבין כל תתי-חבורות הנורמליות של שמוכלות ב . זאת אומרת, לכל תת-חבורה נורמלית של שמוכלת ב , מתקיים
שאלה: אתם יכולים לתת דוגמא לאיך האיברים בליבה ניראים? אם יש לנו נגיד אז זה חיתוך של
קבוצה שנראית ככה:
עם קבוצה שנראית ככה:
וכו'.
תשובה: איבר היחידה הוא בליבה. מעבר לזה - אין צורך לדעת לצורך פתרון של השאלה. בסה"כ הבנת את ההגדרה נכון.
שאלה קטנה נוספת: אז לא צריך להוכיח שהיא תת חבורה? רק נורמליות ואז להראות מקסימליות?
תשובה לשאלה הקטנה: צריך. שים לב שההוכחה לוקחת בערך שורה.
5.3.11
הכוונה היא לחבורה שנוצרת על ידי הקבוצה . זאת אומרת אוסך כל המכפלות הסופיות מהצורה . אין צורך להוכיח זאת בתרגיל, אבל תבדקו עם עצמכם שאתם מבינים מדוע זו חבורה בכלל. עליכם להראות שחבורה זו נורמלית.
5.3.14
לשאלת התלמידים ששאלו איך לפתור את סעיף ג' - הרעיון הוא להשתמש בסעיף א. כיצד הראתם נורמליות של ?
שימו לב שמדובר ב-n נתון מראש. בנוסף - יש להראות ש היא תת-חבורה של . בסעיף א' ובכל שאר הסעיפים מדובר באותו n שמופיע בנתון.
5.4.10
אם אתם מתסבכים אם , ניתן לקחת חבורה אחרת. הצעה - קחו . (שהיא איזומורפית ל )
תרגיל 6
שימו לב לכמה נקודות.
1) . שימו לב, בתרגולים הראשונים כך הגדרנו את בלי לציין שזו מנה.
2) כאשר אתם מקבלים חבורה ולא מציינים את הפעולה - בד"כ מדובר בחבורה שכבר ראיתם, כי רק היא מגדירה חבורה באופן טבעי. למשל, על אתם לא מכירים שום פעולה חוץ מכפל.
שאלה: האם ניתן להעזר בפונקציית אויילר בשביל לפתור את שאלה 6?
תרגיל 9
חלק 1 שאלה 3
הדרכה לתרגיל: עברו על האפשרויות השונות לחבורות אבליות מסדר 62, וחפשו בהן את החבורות המקיימות את התנאים שבשאלה.