הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
(4 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 14: | שורה 14: | ||
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
− | תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | + | תהי <math>A\in M_n (\mathbb{F})</math>. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ערך עצמי (ע"ע) של <math>A</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Av=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של <math>A</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. |
'''הגדרה:''' | '''הגדרה:''' | ||
− | אוסף כל | + | אוסף כל הע"ע של <math>A</math> נקרא הספקטרום של <math>A</math>, ומסומן <math>spec(A)</math>. |
''הערה:'' | ''הערה:'' | ||
שורה 38: | שורה 38: | ||
− | ''' | + | '''דוגמה למציאת ע"ע:''' |
− | '' | + | '' <math>A=I_n</math>.'' |
− | שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)={1}</math>. | + | שיטה ראשונה: <math>I_n v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>v=\lambda v</math> <math>\Leftarrow</math> <math>\lambda=1</math> <math>\Leftarrow</math> <math>spec(A)=\left \{1 \right \}</math>. |
שיטה שנייה: לפי המשפט. | שיטה שנייה: לפי המשפט. | ||
שורה 50: | שורה 50: | ||
0 & & \lambda-1 | 0 & & \lambda-1 | ||
\end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>. | \end{pmatrix}</math>, כלומר <math>det(\lambda I_n-I_n)=(\lambda-1)^n</math>, ומכאן <math>(\lambda-1)^n=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\lambda=1</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''הגדרה:''' | ||
+ | |||
+ | יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''משפט:''' | ||
+ | |||
+ | יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי <math>T:V\rightarrow V</math>:''' | ||
+ | |||
+ | 1. נבחר בסיס <math>B</math> של <math>V</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. נחשב את המטריצה המייצגת <math>A</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. נרכיב את המשוואה <math>det(\lambda I-A)=0</math>. זוהי משוואה ממעלה <math>n</math> עם משתנה יחיד <math>\lambda</math>. | ||
+ | |||
+ | 4. נחפש פתרונות <math>\lambda_1,...,\lambda_s</math>, שהם הע"ע של <math>T</math>. |
גרסה אחרונה מ־10:39, 5 בינואר 2013
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, הוא מרחב וקטורי מעל השדה , וכן .
בנוסף, .
הגדרה:
העתקה לינארית (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי . אומרים ש- הוא ערך עצמי (ע"ע) של אם קיים וקטור שעבורו . הוקטור נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של הקשור ל-.
הגדרה:
אוסף כל הע"ע של נקרא הספקטרום של , ומסומן .
הערה: יכול להיות המצב .
משפט:
הוא ע"ע של אם ורק אם אינה הפיכה.
הערה: אינה הפיכה אם ורק אם .
משפט:
הוא ע"ע של מטריצה אם ורק אם .
דוגמה למציאת ע"ע:
.
שיטה ראשונה: .
שיטה שנייה: לפי המשפט. , כלומר , ומכאן .
הגדרה:
יהי אופרטור לינארי. אומרים ש- הוא ע"ע של אם קיים וקטור שעבורו . הוקטור נקרא ו"ע של הקשור ל-.
משפט:
יהי אופרטור לינארי, יהי בסיס של ותהי המטריצה המייצגת של יחסית לבסיס . אזי אם הוא ע"ע של , אז הוא גם ע"ע של .
אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי :
1. נבחר בסיס של .
2. נחשב את המטריצה המייצגת .
3. נרכיב את המשוואה . זוהי משוואה ממעלה עם משתנה יחיד .
4. נחפש פתרונות , שהם הע"ע של .