הבדלים בין גרסאות בדף "אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה לכולם)
(ביטול גרסה 5876 של 87.68.229.138 (שיחה))
 
(427 גרסאות ביניים של 60 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 34: שורה 34:
  
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 13| ארכיון 13]]''' - תרגיל 10
 +
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 14| ארכיון 14]]''' - תרגיל 10
 +
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 15| ארכיון 15]]''' - תרגיל 10
 +
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
 +
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
−
'''תומר''' - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il
 
  
−
==שאלה לכולם==
+
==שאלה==
−
יש איזשהו תרגיל שנאילא מצליחה לפתור- אני ממש אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי.
+
−
השאלה:
+
−
"נניח ש- <math>f(x)</math> מוגדרת ורציפה בקטע סגור [a,b]. הוכיחו כי הטור  <math>\sum _{n=1}^\infty [f(x)]^n</math> מתכנס במ"ש ב- [a,b] אם ורק אם הוא מתכנס נקודתית ב- [a,b]."
+
−
תודה לכל העוזרים!!!!
+
  
−
===תשובה===
+
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
−
הרי אנחנו יודעים בדיוק מתי הטור הזה מתכנס נקודתית, מה פונקצית הגבול שלו ומה השארית שלו. מהו תנאי מספיק והכרחי שטור יתכנס נקודתית בקטע הסגור?
+
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
 +
 
 +
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
  
−
==שאלה למתרגלים==
+
==שאלה==  
−
מהי רמת הקושי של התרגילים בתרגיל 10? האם הם קלים? קשים? האם ייתכנו תרגילים ברמת קושי כזו במבחן?
+
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
−
אני שואל כדי שנוכל להעריך את רמת הידיעות שלנו לקראת המבחן.
+
תודה
  
−
'''תומר''' - הממ , רמה בינונית ! ולא לשכוח שעדיין לא כוסו בתרגיל זה מבחני דיני , אבל ודיריכלה . בנוסף - יינתן תרגיל נוסף , ללא הגשה אך כן עם חובה לדעת פתרונותיו - עבור מבחנים אלו וטורי חזקות - שזהו חומר חשוב מאוד ורק בגלל אילוצי החגים והבגרויות שלכם לא ייבדקו .
+
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם זה נכון שסדרת פונקציות, <math>(f_n(x))_{n=1}^{\infty}</math>, מתכנסת בקטע <math>[a,\infty]</math> במ"ש אם"ם מתקיים:
+
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
  
−
<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-f_n(x)) = 0</math>
+
*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
  
−
כאשר, <math>f</math> זו הפונקציה הגבולית.
+
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
−
+
−
פשוט זה יכול לעזור לי בקביעה באם ההתכנסות היא במ"ש...
+
  
 +
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
  
−
:לא. מה אם חוסר ההתכנסות במ"ש קורה בצד הסופי? <math>\sum\frac{1}{x^n}</math> ועבור x=1 הטור מוגדר להיות אפס.
+
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
  
−
::הבנתי... אבל אפשר להשאיר מהמשפט רק את הכיוון של אם ההתכנסות במ"ש אז... כי אם ההתכנסות במ"ש אזי ש-
+
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
  
−
<math>f_n(x)-f(x) \leq \sup_{[a,\infty]}|f_n(x)-f(x)| := A_n</math>, ולכן,
+
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
  
−
<math>\lim_{x \rightarrow \infty}(f_n(x)-f(x)) \leq A_n</math>, אבל צריך להתקיים, כיוון שההתכנסות במ"ש, ש- <math>A_n \rightarrow 0</math>
+
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
  
−
ולפיכך, נקבל ש- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty} (f_n(x)-f(x)) = 0</math>
 
  
−
האם הטענה הזו נכונה? ואז ניתן לפחות לשלול התכנסות במ"ש אם היא אינה מתקיימת....
+
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f  חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
  
−
:מי מבטיח שהגבול באיקס בכלל קיים?
+
===תשובה===
−
::: אבל בהנחה שהגבול קיים, נראה לי שאפשר להוכיח גם את הצד השני -   
+
−
::: אם נניח ש- <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-f_n(x)]=0</math>,   
+
−
::: אזי שקיים <math>n_0 \in \N</math>, כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים כי - 
+
−
::: <math>\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] < \epsilon</math>, ומכך נוכל למצוא סביבה, <math>N_{\delta}:=[\delta,\infty]</math>, כך שבסביבה הזו יתקיים -   
+
−
::: <math>[f(x)-f_n(x)] \leq \epsilon</math>, וזאת נכון לכל <math>x \in N_{\delta}</math>. ולכן, אם בנוסף סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור, מהצורה <math>[a,b]</math>, אזי נוכל להסיק שסדרת הפונקציות   
+
−
::: מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,\infty]</math>. 
+
−
::: אז האם ניתן, תחת כל ההנחות באמצע, להיעזר ב-"מבחן" הזה.? או שיש לי איזושהי טעות בדרך...? 
+
−
::: ו-נ.ב., עדיין לא ממש הבנתי איך טור הפונקציות <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n}</math>, המוגדר כך ש- <math>u(1)=0</math>, מפריך את הטענה?
+
  
 +
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :)
 +
לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
  
 +
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
  
−
הביטוי <math>\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] < \epsilon</math> נכון עבור n '''קבוע''', ועבורו יש <math>N_\delta</math> מסוים. אולי ככל שn עולה גם דלתא עולה?
+
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
  
−
הדוגמא היא נגדית מכיוון שהגבול שאתה מתאר הוא אפס, אבל זה לא טור מתכנס במ"ש (שכן ככל שאתה מתקרב לאחד קצב ההתכנסות נהייה איטי). חשוב להבין שאי התכנסות במ"ש לא חייבת להתרחש באינסוף.
+
==שאלה מסודרת ==
 +
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
  
−
: הבנתי, תודה רבה (הייתי צריך את זה...), אבל אם אנו מניחים ש-<math>(f_n(x))</math> מתכנסת במ"ש בכל קטע סופי, מצורת <math>[a,b]</math>. וכמו-כן, ש- <math>(f(x)-f_n(x))_{n=1}^{\infty}</math> היא מונוטונית.
+
===תשובה===
−
: אזי שהוא מתכנס במ"ש גם בקטע <math>[a,\delta]</math>, ולכן קיים <math>n_0' \in \N</math>, כך שלכל <math>n>n_0'</math>, וכן לכל <math>x \in [a,\delta]</math> יתקיים כי -
+
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
−
: <math>|f(x)-f_n(x)| \leq \epsilon</math>
+
−
: אז נבחר <math>N=\max{(n_0,n_0')}</math>, והוא יקיים '''שלכל''' <math>n>N</math>, '''ולכל''' <math>x \in [a,\infty]</math> ש-
+
−
: <math>|f(x)-f_n(x)| \leq \epsilon</math>, אין זה בעצם התכנסות במ"ש? (אחרי שגם הוספתי את העובדה שקיימת התכנסות במ"ש בכל קטע סגור...)
+
  
 +
:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
 +
::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
  
−
::שוב אתה מניח שיש דלתא קבוע כלשהוא שאינו תלוי בn. שנית, מאיפה ההנחה על המונוטוניות? ואיך היא עוזרת?
+
ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:
  
−
:: פשוט, אם <math>(f(x)-f_n(x))</math> מונוטונית, נגיד יורדת, אז שלכל <math>n>n_0</math> יתקיים כי -
+
נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
−
:: <math>f(x)-f_n(x) < f(x)-f_{n_0}(x) < \epsilon</math>, לכל <math>x \in N_{\delta}</math>. ומכאן בוחרים שוב את <math>N=\max(n_0,n_0')</math>...
+
  
−
:: פשוט קצת קשה לי לבדוק התכנסות במ"ש בקטעים כמו <math>[a,\infty]</math>. האם יש עוד מבחנים שימושיים, חוץ ממבחן ה-Sup, ומבחן ה-M??
+
ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
  
−
:::מונוטונית באיזה מובן? הרי גם n וגם x משתנים. מבחן הSup הוא העיקרי... הרי אפשר למצוא או לקבל הערכה על נקודת הsup לn כללי בעזרת חקירת פונקציות (כפי שלמדנו בשיעור).
+
ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
  
−
==שאלה 1 סעיף ב'==
+
==שאלה==
−
אני לא מצליח לקבוע באם סדרת הפונקציות הנתונה, <math>f_n(x)=x \cdot \arctan(nx)</math> מתכנסת במ"ש או לא ב-<math>(0,\infty)</math>
+
למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g  ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
  
−
אפשר איזשהו רמז..?? רמזון??? משהו..??
+
===תשובה===
 +
המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
  
−
:איך הפונקציות האלה מתנהגות באינסוף?
+
==שאלה==
  
−
:: הן שואפות לפונקציה הגבולית - <math>f(x)= \frac{\pi}{2} \cdot x</math>, ומה עושים מכאן?
+
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
 +
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
 +
==שאלה==
 +
אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?
 +
:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
  
−
בהגדרה של התכנסות נקודתית אנחנו אומרים שהתנאי מתקיים החל מקיי כלשהוא נכון? אם נתבונן בקטע מסויים ,שהפונקציה מתכנסת נקודתית בכל נקודה בו, ונבחר את המספר פי שהוא המקסימום של כל הקייים של כל הנקודות בקטע. ואז החל מהפי הזה הפונקציה מתכנסת בכל הקטע.וזוהי ההגדרה של התכנסות במ"ש. אז זה אומר שהתכנסות במ"ש והתכנסות נקודתית בכל הקטע זה אותו דבר? כנראה שלא, אז איפה הטעות? שהמקסימום יכול להיות אינסוף? אם הוא תמיד אינסוף-איך מוכיחים את זה? תודה.
+
==שאלה==
 +
נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י  M. צ"ל שf^2  אינטגרבילית באותו קטע.
 +
יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?
 +
מהי הדרך?
  
−
::(לא ארז/תומר) הבעיה היא שלקחת מקסימום של של קבוצה אינסופית(קבוצת ה-k-ים). אם הסופרימום של הקבוצה הוא מספר אז אכן ישנה התכנסות במ"ש. אבל אם הסופרימום הוא אינסוף- אז אין התכנסות במ"ש.
+
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
  
−
זה אומר שזה משפט חדש? אם קבוצת הקייים חסומה אז התכנסות רגילה גוררת התכנסות במ"ש?
+
אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
  
 +
תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות  של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...
  
−
הגדרנו התכנסות רגילה של טורי פונקציות?(לא במ"ש)  
+
(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.
−
תומר : הגדרנו התכנסות רגילה - זו התכנסות (נקודתית! ) של סידרת הסכומים החלקיים של הטור !  בדומה להתכנסות של טורי מספרים .  
+
f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.
 +
בקשר אליו, קל להראות ש
  
 +
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן  קל להמשיך.
 +
 +
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
 +
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
 +
 +
==שאלה==
 +
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. 
 +
- האם הפונקציה x^n(x^n-1)  qq  מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
התכנסות נקודתית היא ברורה, זה גבול סדרה. התכנסות במ"ש אומרת שלכל אפסילון יש n_0 מסוים שיתאים לכל הנקודות x בקטע. כלומר כאשר ניקח את הפונקציה f_n_0 המרחק שלה מפונקצית הגבול יהיה קטן מאפסילון בכל נקודה.
+
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
−
יכול להיות כמו שאמרת שהמקסימום הזה הוא אכן אינסוף.
+
  
−
אולי קצת הטעתי ברמז. יש לנו תנאי מספיק והכרחי השקול להתכנסות במ"ש. צריך לנסות לפתור את התרגיל בעזרתו.
+
אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
  
−
התכנסות רגילה של טור פונקציות היא התכנסות נקודתית כמובן.
+
==שאלה==
 +
נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:
 +
cosx+quad(f,0,x)-1=0.
 +
(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)
 +
מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?
 +
::מישהו??
 +
 
 +
 
 +
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
 +
 
 +
==שאלה==
 +
מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.
 +
:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
 +
 
 +
==שאלות מעניינות==
 +
* הוכח או הפרך:
 +
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
 +
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
 +
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
 +
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
 +
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
 +
 
 +
תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ...
 +
לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
 +
 
 +
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)
 +
 
 +
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
 +
 
 +
::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?
 +
 
 +
 
 +
(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
  
−
:רגע, אז כשאני אומר במ"ש(סדרת פונקציות) לפי ההגדרה אז האן אפס שהחל ממנו התנאי מתקיים הוא תלוי רק באפסילון??לא יכול להיות תלוי באיקס??
+
תודה רבה :)
  
−
::n_0 הוא אף פעם לא יחיד, אפשר להגדיר אותו תלוי במיליון דברים. אבל אם יש התכנסות במ"ש, יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד ולא באיקס (תקרא את ההגדרה). זה המקסימום של כל הn_0-ים המינימליים.
+
זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
−
תודה.
+
  
−
אם אמרו לי להגיד אם אישהוא טור מתכנס במ"ש,אן רץ מאחת עד אינסוף, הצלחתי להגיד את זה לגבי אן רץ מ2 עד אינסוף,זה בסדר? למה? תודה.
+
: אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
  
−
:הגיע הזמן בסוף אינפי 2 לדעת שההתכנסות אינה יכול להשתנות על פי מספר קבוע כלשהו של איברים ראשונים. במקרה הכי גרוע זה יכול להזיז את n_0
+
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
−
זה נכון בהתכנסות של טורים רגילים. אבל בטורים של פונקציות-מי אמר שזה במ"ש זה מוסיף עוד חלק משמעותי לפונקציה,לא? בכל מקרה, אם אני אומר שהטור מתכנס במ"ש מאן שווה 2 אז זה בסדר? תודה!
+
::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
  
−
::מה זה במ"ש? שהטור או הסדרה מתכנסים בקצב שאינו קבוע באיקס (יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד). שינוי של מספר קבוע של איברים ראשונים יכול לכל היותר להזיז את הn_0 הזה כמספר האיברים ששינית. אפילו אם אני אוסיף לטור איבר ראשון שהוא פונקציה בלתי חסומה, עדיין בכל נקודה הטור מתכנס באותו קצב, שכן בכל נקודה הוספתי לטור איבר אחד בגודל כלשהו.
+
:(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.
 +
ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
  
−
==כמה שאלות==
+
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
−
*קודם כל, בקשר לדיון הקודם.. אז סה"כ מס' סופי של איברים לא משנה את ההתכנסות הנקודתית + במ"ש?
+
:: תודה לשניכם :)
−
*אפשר להשתמש בזה שln(1+t)<t ללא הוכחה?
+
−
*אם הוכחתי שטור פונק' מתכנס לא מתכנס במ"ש בקטע הפתוח 0,אינסוף,  זה גורר שהוא לא מתכנס גם בקטע החצי סגור?
+
−
*ושאלה אחרונה - רק כדי לוודא - במבחן הM של וירשטרס, an לא יכול להיות תלוי בX נכון? (התשובה די ברורה מאליה, אבל בכל מקרה..)
+
  
 +
==שאלות.==
 +
*arctanx  חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
 +
*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
 +
*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
 +
*בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
  
−
תודה רבה!
+
וזהו, תודה רבה!
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
*נכון, מספר סופי של איברים לא משנה התכנסות או התכנסות במ"ש
+
*כן הוא חיובי.
−
*תוכיח את זה... זה גם נכון בתחום מסוים. הוכחה של שורה
+
*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
−
*כאילו כולל הנקודה אפס? בוודאי אם טור לא מתכנס במ"ש בקטע מסוים, הוא לא מתכנס במ"ש בקטע גדול יותר שמכיל את הראשון.
+
*נכון.
−
*נכון.. מדובר על טור של מספרים קבועים.
+
*נכון
  
−
:תודה רבה ארז.. (: ובקשר לשאלה ה3 - זה נכון גם לגבי רציפות במ"ש?
+
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
−
::רציפות במ"ש מאינפי 1? כן, הרי רציפות במ"ש מדברת על ההפרש בפונקציה על כל שתי נקודות במרחק מסוים בציר x. אם יש רציפות במ"ש על קטע יש רציפות במ"ש על כל תת קטע שלו.
+
:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
 +
::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
 +
 
 +
:כי ln שלילית בקטע הזה.
 +
::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
 +
 
 +
:נכון
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
לגבי מבחן ה-m: הוא עובד גם הפוך?
+
התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?
 +
:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
  
−
כלומר, אם אני מראה שטור הפונקציות, גדול מטור מספרים שמתבדר, זה אומר שטור הפונקציות מתבדר?
+
==שאלה==
 +
*הסתבכתי,אפשר עזרה?
 +
*נניח שהפונקציה f  מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.
 +
 
 +
 
 +
:השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?
 +
תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
 +
 
 +
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
 +
 
 +
: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d  בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
 +
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
זה לא מבחן m זה טריוויאלי עבור טורים חיוביים (ממבחן ההשוואה של טורים חיוביים) יש התבדרות נקודתית (וממילא אין כזה דבר התבדרות במ"ש)
+
אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
 +
 
 +
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
 +
 
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM
 +
<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
 +
 
 +
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
  
−
==בקשר למבחן==
+
* על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן
−
אני יודעת שהשאלה הזו חוזרת על עצמה פעמים רבות לפני מבחנים, ובכל זאת; לגבי משפטים מההרצאה, כמו למשל טיילור או לופיטל. אני יודעת את הרעיון הכללי של ההוכחה, אבל האם צריך לדעת אותה "לעומק"? כלומר, האם צריך לשים דגש על ההוכחות או שמספיק לרפרף על ההוכחות, לוודא שמבינים אותם ולשים דגש על תרגילים? כי בכל זאת, נאמר לנו שמשפטים גדולים (למרות שאני לא יודעת אם אפשר להגדיר את משפט טיילור כמשפט "גדול") לא יופיעו במבחן..
+
<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
  
−
:זו שאלה למרצים שכן הם כותבים את המבחן.
+
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
 +
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אפשר רמז בשאלה 3? הבנתי למה הסדרה מתכנסת אבל אין לי שום רעיון לגבי המידה שווה
+
אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?
−
::מצטרפת
+
וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
−
תומר-מצטרף :) - נסו להסתכל על ההפרש fn - f  בערך מוחלט , עבור x שנמצא בקטע סגור . קטע סגור ורציפות אמור להזכיר לכם רציפות במידה שווה ... זהו לבינתיים !
+
−
::בfn-f אתה מתכוון שf זאת הנתונה או הפונקציה הגבולית?
+
−
תומר : בהחלט - לא נתונה לנו f אחרת , השאר תלויות ב n .
+
  
−
==רק תיקון טעות==
+
===תשובה===
−
בשאלה 4a הגדרתם  את הטור מ-n=1 למרות שיש בטור את הביטוי ln n אני מניח שזאת לא הכוונה שלכם להתחכם איתנו אבל בכל זאת...
+
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
  
−
:כן תודה כבר תיקנו לנו את זה. תתחילו מn=2
 
  
−
==מס' שאלות==
+
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
−
* שאלה כללית: פונק' יכולה להיות גזירה ב(a,b) אב ללא להיות מוגדרת בa או בb? כי אם היא גזירה ב(a,b), אזי היא רציפה בקטע פתוח זה, אבל לפי הגדרת הרציפות החד צדדית - הפונק' צריכה להיות מוגדרת בקצוות..
+
 
−
* בנוגע לטיילור: אם f גזירה פעמיים ב[a,b] למה מותר לי לפתח טיילור סביב a למשל? המשפט לא דורש גזירות בסביבה של הנק' - לא סביבה חד צדדית?
+
אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2)    s
−
*אם אני צריכה להוכיח שsup|f(x)| אינו 0 בתחום (0,infinity) והראיתי שכאשר x->0 אזי f(x)->infinity, האם זה מוכיח לי בוודאות? (שגם הגבול כשn->infinity בטוח אינו 0?)
+
היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)
−
תודה רבה!
+
מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
 +
 
 +
 
 +
:אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
 +
 
 +
כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור
 +
מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
 +
 
 +
:כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
 +
 
 +
סבבה תודה רבה
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???
 +
 
 +
כן, שעתיים
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?
 +
:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
 +
 
 +
==התכנסות אינטגרלים==
 +
האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???
 +
* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.
 +
* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>
 +
* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.
 +
האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-
 +
<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
 +
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
*אם היא גזירה בקטע הפתוח היא לא חייבת להיות גזירה בקצוות ולכן לא מעניין אותנו בכלל מה הערך שלה שם. נגזרת חד צדדית רלוונטית אם הפונקציה גזירה בקטע הסגור. דוגמא טריוויאלית: אחד חלקי איקס גזירה ב(0,1) אך לא מוגדרת באפס כלל.
+
לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
 +
 
 +
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
 +
 
 +
צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
 +
 
 +
חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני
 +
 
 +
 
 +
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
  
−
*אני לא בטוח מה למדתם בהרצאה. תנסו לראות מה קורה במקרה הקצה הזה. הרי בטח טיילור כפי שהוא במקור לא מתאים לקצה שכן הפונקציה לא חייבת בכלל להיות מוגדרת בצד השני של a. כנראה שאפשר להתאים שם הכל למקרה חד צדדי.
+
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
 +
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע  g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
  
−
*אם הפונקציה שואפת לאינסוף בוודאי הsup של הערך המוחלט שלה הוא אינסוף. מכיוון שלא הזכרת את n בשאלה אני לא מבין איך אפשר להגיע למסקנה כלשהי לגבול עליו
+
תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אפשר להעלות מבחנים ותרגולים לאתר?
+
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.
−
תומר - ראשית , הרעיון הוא שאת סיכום התירגול האחרון (ההשלמה ביום שלישי הקרוב ) נעלה גם כן ,לטובת מי שלא יוכל להגיע וגם , ייתכן שלא נספיק לפתור את כל הדוגמאות בזמן שיש לתירגול , אז יהיו לכם שאלות נוספות לראות .
+
f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
−
בנוסף - תרגיל נוסף (11) על סדרות , טורי פונקציות וטורי חזקות , יינתן - אך ללא הגשה , ופיתרון שלו יפורסם בסמוך לפירסומו .
+
 
−
מעבר לכך - אשאל את המרצים לגבי מבחנים בעבר - לא ידוע לי האם הם לימדו את הקורס , ובכל אופן ניתן לארגן שאלות נוספות פתורות/מודרכות/רמוזות .
+
בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0
 +
 
 +
ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.
 +
מישהו?
 +
אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
 +
 
 +
:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
 +
 
 +
עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
 +
 
 +
:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
 +
 
 +
== תרגיל 11 ==
 +
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 
 +
 
 +
:ארכיון 16...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
למה לנגזרת יכולות להיות רק אי רציפות מסוג שני?
+
מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
  
−
תומר - מוטב להיזכר בזה עכשיו מאשר בכלל לא :) - הסתכל/י באתר זה תחת " דף עזר לגבי נקודות אי רציפות של הנגזרת " .
+
מצטרף!!
 +
 
 +
תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות .
 +
יש חדש?
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
איך אפשר לחשב את ההתכנסות של האינטגרל הלא אמיתי מ-0 עד אינסוף של <math>\int \frac{\sin(x)}{x}</math>? (או של האינטגרל הזה בכלל)
+
אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.
 +
התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
  
−
: זה נובע ישירות ממבחן דריכלה - ציטוט:
 
  
−
אם <math>f,g</math> גזירות, כך שבקטע <math>[a,\infty]</math> מתקיים -
+
===תשובה===
−
* <math>f</math> מונוטונית יורדת.  
+
לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.
−
* <math>\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = 0</math>.
+
:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
−
* הפונקציה <math>G(x)=\int_{a}^{b} g(x)dx</math> חסומה, לכל <math>b>a</math>.
+
  
−
אזי שהאינטגרל - <math>\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx</math> מתכנס!
+
::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
 +
:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)
  
−
ונא לשים לב שהפונקציה  <math>\frac{\sin(x)}{x}</math> רציפה וגזירה בכל נקודה (כי הרי, <math>\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1</math>)
+
אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?
 +
:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
  
−
ולפיכך קיים האינטגרל <math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{x}</math>
+
::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
  
−
:תודה רבה :) !
+
:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
 +
 
 +
==שאלה==
 +
מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
 +
 
 +
===תשובה===
 +
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
 +
 
 +
אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
 +
 
 +
==שאלה==
 +
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
 +
 
 +
===תשובה===
 +
כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
 +
 
 +
== :)==
 +
שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
 +
 
 +
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
 +
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
 +
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
 +
 
 +
==לארז ולתומר==
 +
רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה  ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
 +
 
 +
 
 +
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
 +
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
 +
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
 +
 
 +
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
 +
 
 +
 
 +
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
 +
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר...  לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
 +
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
 +
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 
 +
 
 +
===תשובה===
 +
אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים
 +
* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
 +
 
 +
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
 +
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
 +
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
 +
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
 +
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
 +
 
 +
 
 +
מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!
 +
:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
 +
::מתי יעלו ציוני תרגיל?
 +
 
 +
:::אנחנו נעלה אותם היום
 +
==יש לי שאלה==
 +
האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס
 +
(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
 +
 
 +
===תשובה===
 +
כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
(לקוחה מספר) - תהי f יורדת ממש והאינטגרל: <math>\int_0^\infty f</math> קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה מ- <math>\sum _{n=1}^\infty f(n)</math> , ושקיים מספר a בקטע (0,1) כך ש- <math> \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) </math>
 
  
−
(לא ארז/תומר)  <math> \int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f > \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1</math> אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרלים) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל  <math>f(n)>f(n-1)</math>  ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים.
+
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S
−
לגבי החלק השני של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם:
+
−
<math> \int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f < \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1</math>
+
  
−
<math>g(a):=\int_a^\infty f</math> פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז <math>g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{a+b} f \xrightarrow{b \rightarrow 0} \int_{a}^\infty f = g(a)</math>
+
:זו שאלה פילוסופית?
  
−
הראינו כי <math>g(0) > \sum _{n=1}^\infty f(n) > g(1)</math> ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים <math>0<a<1</math> עבורו
+
==הודעה==
−
<math>g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n)</math>, כלומר  <math> \int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n) </math>, מש"ל
+
  
−
:תודה רבה!! את החלק השני הבנתי היטב, אבל בחלק הראשון משהו נראה לי מוזר באי-שוויון (שגם מוזכר בחלק השני) - יש שני ביטויים ששווים זה לזה וסמנת אי שוויון, אולי שכחת לציין שמדובר פעם ב-f(n) ופעם ב- f(n-1)?
+
יש ציונים!!
 +
== מבחן ==
 +
היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
  
 +
מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא
 +
בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
  
−
::פעם יש שם f ופעם יש f(n) זה ההבדל בין האינטגרל על הפונקציה, לבין האינטגרל על פונקצית המדרגות (כאשר אתה קובע את הערך של כל מדרגה לפי הקצה השמאלי או הימני שלה). אכן יש אי שיוויון חזק בין הפונקציה לבין פונקציות המדרגות הנ"ל.
+
:תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.

גרסה אחרונה מ־11:47, 1 בספטמבר 2010

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

ארכיון 15 - תרגיל 10

ארכיון 16 - לקראת המבחן

ארכיון 17 - לקראת המבחן

שאלות

שאלה

יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?

לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא

תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !

שאלה

תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות? תודה

תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.

שאלה

נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?

  • נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.

ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?

  • ברור שלא.... אינפי 1. fn=(-1)^n לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.

יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???

  • נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).

שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.

  • הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.


למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???

תשובה

תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .

אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .

לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .

שאלה מסודרת

נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...

תשובה

(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).

אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.

ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:

נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (f(x0 שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.

ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.

ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x

שאלה

למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??

תשובה

המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.

שאלה

בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?

[לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1

שאלה

אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?

הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?

שאלה

נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע. יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? מהי הדרך?

הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)

אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?

תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...

(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני. בקשר אליו, קל להראות ש

w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.

מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים: f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור

שאלה

התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..

תשובה

אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא שואף לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות \frac{1}{n}).

אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס \frac{1}{n} בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.

שאלה

נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0. (קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.) מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?

מישהו??


אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס

שאלה

מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.

כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.

שאלות מעניינות

  • הוכח או הפרך:

תהי f_n(x) סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה f, אשר גם גזירה ברציפות,ב-[a,b]. אזי ש- f_n' \rightarrow f' במ"ש על הקטע [a,b].

  • בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x), כך ש-a_n(x)>0 והטור מתכנס ב-I.

מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש. נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)

תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .

שאלה

שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:

int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)

ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה

מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?


(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים

תודה רבה :)

זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף

אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.

ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...

האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
תודה לשניכם :)

שאלות.

  • arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
  • במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
  • כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
  • בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?

וזהו, תודה רבה!

תשובה

  • כן הוא חיובי.
  • אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
  • נכון.
  • נכון
כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
כי ln שלילית בקטע הזה.
אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
נכון

שאלה

התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?

כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט

שאלה

  • הסתבכתי,אפשר עזרה?
  • נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.


השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?

תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)

שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
(לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).


אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?

הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.

תשובה

אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.

הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר |f(x)|<1, והוא מתכנס במ"ש כאשר |f(x)|<r<1 אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.


  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה |f(x)|<r<1 כל שצריך הוא מבחן הM

|f(x)^n|<r^n.

  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי |f(x)|<1 כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור \sum |f^n(x)|=\sum a^n כאשר |f(x)|=a<1 וזה כמובן מתכנס.
  • טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
  • על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה x_n כך ש f(x_n) \rightarrow 1 ולכן

\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty

(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי f(x_n)\rightarrow 1)

שאלה

אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע? וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf

תשובה

הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])


לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17

אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) s היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס) מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?


אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.

כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)

כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...

סבבה תודה רבה

שאלה

המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???

כן, שעתיים

שאלה

למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?

אתה מתכוון ל\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי \sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty)

התכנסות אינטגרלים

האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???

  • \int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta.
  • \int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}
  • \int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr.

האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש- \int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2, ואז עפ"י השוואה???


תשובה

לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)

בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם \frac{1}{1-x}

שאלה

נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.

צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.

חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני


אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?

(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.

תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...

שאלה

צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s

בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0

ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי. מישהו? אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?

(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...

עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?

תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.

תרגיל 11

מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 

ארכיון 16...

שאלה

מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?

מצטרף!!

תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . 

יש חדש?

שאלה

אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?


תשובה

לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.

השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)

אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?

זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.

שאלה

מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....

תשובה

נניח ויש לך טור מתכנס g=\sum f_n. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי g' = \sum f_n'. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.

אינטגרציה זה דומה \int g = \sum \int f_n

שאלה

אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?

תשובה

כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.

:)

שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)

תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)

תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
ושיהיה בהצלחה לכולם!

לארז ולתומר

רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!


מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...

מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..

מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)

תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)


אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P= אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך. כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם! תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 

תשובה

אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים

  • הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ולא להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
  • שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
    • שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
    • שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
    • יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
    • שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...


מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!

זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
מתי יעלו ציוני תרגיל?
אנחנו נעלה אותם היום

יש לי שאלה

האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס (הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?

תשובה

כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)

שאלה

למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S

זו שאלה פילוסופית?

הודעה

יש ציונים!!

מבחן

היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?

מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...

תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אינפי_2_לתיכוניסטים_תש%22ע_-_שאלות_ותשובות&oldid=5877