הבדלים בין גרסאות בדף "אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תשובה)
(ביטול גרסה 5876 של 87.68.229.138 (שיחה))
 
(167 גרסאות ביניים של 30 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 40: שורה 40:
  
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
 
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
 +
 +
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
  
 
=שאלות=
 
=שאלות=
  
−
=סיכום=
+
==שאלה==
−
מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): [[מדיה:summary_yotam.pdf|סיכום]]
+
  
−
ארז - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשי? תודה...
+
יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?
 +
:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא
  
−
==שאלה==
+
תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !
−
איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד 1 של <math>ln^a(x)</math> עבור a חיובי?
+
−
:(לא תומר/ארז)עבור a חיובי? זה נשמע קצת מוזר, כי ln(x) הוא שלילי בתחום הזה, ואם למשל נבחר a=0.5 כל הפונק' לא תהיה מוגדרת בתחום הזה..
+
−
::עבור a>=1, אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא עם הערך המוחלט עצמו (קטן שווה ממנו), ואז בגלל ש|lnx| מתכנס ב[0,1] (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה), גם שלנו מתכנס
+
  
−
==שאלה==
+
==שאלה==  
−
תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות על [0,1] שמקיימות <math>f_n(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0,1] המקיימת את אותו התנאי. אם האינטגרל מ-0 ל-x של <math>f_n</math> מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של f במ"ש ב-[0,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].
+
תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?
 +
תודה
  
−
(לא ארז/תומר)
+
תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
−
הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.
+
−
:יפה, תודה רבה!
+
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> ?
+
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
  
−
(לא ארז/תומר) תנסה את מבחן דלאמבר לסדרות. מקבלים ביטוי ששואף לאפס, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\ויים, ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס!
+
*נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.
  
−
:למה זה מפתיע? למעלה יש לך e^4 (קבוע) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.
+
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
  
−
==שאלה==
+
*ברור שלא.... אינפי 1. <math>fn=(-1)^n</math> לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.
−
אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקות. האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לx^n במקרה זה?  
+
 
−
הכוונה שלי לפונקציות כמו:
+
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
−
f=ln(1+x)/(1+x) w
+
 
−
את הלאן ואת 1+x אני יודע לפתח לטור חזקות, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?
+
*נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).
 +
 
 +
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
 +
 
 +
*הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.
 +
 
 +
 
 +
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f  חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לא. חלוקה וכפל של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איבר
 
  
−
==המשך השאלה==
+
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :)  
−
אז איך כן מפתחים את הפונקציה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2(1+x) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר..
+
לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
  
−
תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים , שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...)  פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר  n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס (טור מקלוריין ) אפשר לנסות להשתמש בה . אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו - ( שלא ניתן למשל למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה .
+
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
  
 +
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
  
−
אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן?  
+
==שאלה מסודרת ==
 +
נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
  
−
תומר - רק מבחן יש לכם בראש ? (יש מונדיאל :) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום ...)
+
===תשובה===
 +
(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).
  
−
==תזכורת לארז==
+
:אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
−
היי ארז,
+
::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.
−
בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך לבדוק את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של תומר. בקשר להתייחסות לגבול העליון/התחתון כאל גבול ממש, והטענה שמשהו מתקיים לכל n גדול מ-N. תודה.
+
 
 +
ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:
 +
 
 +
נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.
 +
 
 +
ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.
 +
 
 +
ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
 +
 
 +
==שאלה==
 +
למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g  ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
מה שרשום שם הוא כך: נניח והגבול העליון הוא L. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx. זה נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.
+
המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
  
−
סבבה, תודה :]
+
==שאלה==
  
 +
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?
 +
:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cos(x)/x . מותר לי לפתח את cos(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את x^n ב-x ולקבל x^n-1 והשאר לא משתנה, וזה הפיתוח של cos(x)/x לטור חזקות?
+
אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?
 +
:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?
 +
 
 +
==שאלה==
 +
נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י  M. צ"ל שf^2  אינטגרבילית באותו קטע.
 +
יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?
 +
מהי הדרך?
 +
 
 +
:הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)
 +
 
 +
אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?
 +
 
 +
תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות  של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...
 +
 
 +
(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.
 +
f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני.
 +
בקשר אליו, קל להראות ש
 +
 
 +
w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן  קל להמשיך.
 +
 
 +
מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:
 +
f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
 +
 
 +
==שאלה==
 +
התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. 
 +
- האם הפונקציה x^n(x^n-1)  qq  מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
(לא ארז/תומר) כן, מותר
+
אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
  
−
==המשך==
+
אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
−
זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה  
+
−
f(x)= integral from 0 to x of 1-cos(t) / t^2 dt
+
−
ניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרל.
+
  
−
דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה f(x) =x^-2 . אני יכול להשתמש בסכום של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות את זה יפה יותר?
+
==שאלה==
 +
נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה:
 +
cosx+quad(f,0,x)-1=0.
 +
(קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)
 +
מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?
 +
::מישהו??
  
 +
 +
:::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
 +
 +
==שאלה==
 +
מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.
 +
:כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.
 +
 +
==שאלות מעניינות==
 +
* הוכח או הפרך:
 +
תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>, אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.
 +
אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.
 +
* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I.
 +
מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.
 +
נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)
 +
 +
תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ...
 +
לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .
 +
 +
==שאלה==
 +
 +
שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:
 +
 +
int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)
 +
 +
ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה
 +
 +
::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?
 +
 +
 +
(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים
 +
 +
תודה רבה :)
 +
 +
זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף
 +
 +
: אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
 +
 +
::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
 +
::עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
 +
 +
:(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.
 +
ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...
 +
 +
:: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
 +
:: תודה לשניכם :)
 +
 +
==שאלות.==
 +
*arctanx  חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
 +
*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
 +
*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
 +
*בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?
 +
 +
וזהו, תודה רבה!
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לגבי השאלה הראשונה - אתה גוזר את הפונקציה ומקבל <math>\frac{1-cosx}{x^2}</math> שזה שווה <math>\frac{1-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=
+
*כן הוא חיובי.
−
\frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=
+
*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
−
-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2(n-1)}}{(2n)!}
+
*נכון.
−
</math>
+
*נכון
 +
 
 +
::כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
 +
:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
 +
::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
  
−
(עד כדי טעות)
+
:כי ln שלילית בקטע הזה.
 +
::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
  
−
עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל את התוצאה הרצוייה
+
:נכון
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
והשאלה השנייה שלי?
+
התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?
 +
:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם יש אפשרות שמישהו יעלה את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשה?
+
*הסתבכתי,אפשר עזרה?
 +
*נניח שהפונקציה f  מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.
 +
 
 +
 
 +
:השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?
 +
תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)
 +
 
 +
::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
 +
 
 +
: (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d  בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).
 +
 
 +
 
 +
 
 +
אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?
 +
:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
 +
 
 +
===תשובה===
 +
אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
 +
 
 +
הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)|<1</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(x)|<r<1</math> אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
 +
 
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM
 +
<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
 +
 
 +
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
 +
 
 +
* על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן
 +
<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
 +
 
 +
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
 +
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורך?
+
אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?
 +
וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
 +
 
 +
===תשובה===
 +
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])
 +
 
 +
 
 +
לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17
 +
 
 +
אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2)    s
 +
היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)
 +
מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?
 +
 
 +
 
 +
:אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.
  
−
תומר - אני יודע ... (שאלת מי יודע :) ...
+
כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור
−
יופי, אתה יכול לפרט?
+
מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)
  
−
לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ...
+
:כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
−
אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן......
+
−
זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם את מבנה המבחן....
+
−
אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה
+
  
−
תומר - שאלות על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל ... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים . אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה - והמבנה של המבחן לא יגיד לכם כלום . עד כאן .
+
סבבה תודה רבה
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
צריך להפריך: אם (fn(x) היא סדרה מונטונית (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי n) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f(x) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית.
 
−
יש למישהו דוגמה להפרכה?
 
  
−
: [לא תומר/ארז] אולי הסדרה x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?
+
המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???
−
:::איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.
+
−
:::: קח את I להיות [1-,1] וזה לא
+
  
−
נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטה.)
+
כן, שעתיים
  
−
==שאלונת.==
+
==שאלה==
−
נניח והגדרנו את G(x) להיות האינטגרל של f מ0 ועד x.
+
  
−
האם זה מוגדר היטב עבור x<0? כלומר, זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל קטע סגור), מותר לי להכניס X שקטן מ0?
+
למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?
 +
:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>)
  
−
תומר - בעצם , אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע , ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה  מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! (הסתכלו על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...)
+
==התכנסות אינטגרלים==
−
::אז לא ממש הבנתי.. כן מותר להציב x<0?
+
האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???
−
תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c
+
* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.
 +
* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>
 +
* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.
 +
האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-
 +
<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה???
  
  
−
השאלה היא אם f אינטגרבילית גם בשליליים. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.
+
===תשובה===
 +
לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)
  
−
תומר - שאלת וענית בעצמך ! אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר ה-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון ! כמובן כאשר הגבול התחתון זו  נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !
+
בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויק, נכון? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדו"א...'
 
  
−
תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים . אבל נוסח משפט - ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?
+
נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.
−
::ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?..  
+
 
−
תומר - לא יודע מה זה "כללי" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים . לדוגמא - יש הבדל אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות רציפה , או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר . או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע - הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה סגור ... למשל . אם לא נזכור נוסח של משפט איך נדע שמותר להשתמש בו ???
+
צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.
 +
 
 +
חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני
 +
 
 +
 
 +
אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?
 +
 
 +
:(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.  
 +
:הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע  g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.
 +
 
 +
תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
 +
צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש.
 +
f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s
  
−
איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sin(nx) מתבדר?
+
בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0
  
−
תומר - האם האיבר הכללי בטור , עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי ...) שואף לאפס ?  
+
ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.
−
זו שאלה שמזכירה אינפי 1 .
+
מישהו?
−
האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות - האם בכלל קיים גבול לסידרה זו ?  
+
אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
  
−
חישבו על זה קצת - ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון . נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות :
+
:(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
  
−
sin(n+1)x-sin(n-1)x=2cos(nx)*sinx (הפרש סינוסים ...) , ובסינוס זווית כפולה :  sin2nx=2sinnx*cosnx ...
+
עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
  
−
==עוד תרגיל==
+
:תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.
−
תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטונית
+
−
===תשובה===
+
−
(לא ארז/תומר)-נראה לי שזה נכון. תניח בשלילה שפונקצית הגבול לא מונוטונית. נניח ב.ה.כ שמדברים על מונוטונית יורדת. ואז קיימת נקודה b>a כך ש: (f(b)>f(a.כעת נתבונן באפסילון שקטן מ-f(b)-f(a))/2), וע"פ הגדרת הגבול תקבל שקיים N כך שלכל n>N קיימת נקודה x1 כך ש-fn(x1) קרובה ל-f(b) עד כדי אפסילון וכן אותו הדבר לגבי x2 כך שfn(x2) קרובה ל-f(a) עד כדי אפסילון. מכיוון שאין חיתוך בין תחומי האפסילון אזי בהכרח (fn(x1)>f(nx2 לכל n>N, בעוד שמכיוון שx1 שואף לb וx2 שואף לa אזי x1>x2 בסתירה למונוטוניות (היורדת) של fn.כל מה שנותר להוכיח זה שאם fn מונוטוניות יורדות אזי f לא יכולה להיות מונוטונית עולה שזה פשוט.
+
  
 +
== תרגיל 11 ==
 +
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 
  
−
ארז - קודם כל השאלה היא שלי. שנית, לא נתון שהפונקציות כולן מונוטוניות באותו כיוון. חלק עולות חלק יורדות. ההוכחה מאד קרובה בכל מקרה, אבל אפשר היה לוותר על השימוש באפסילון.
+
:ארכיון 16...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
תחום ההתכנסות במ"ש של טור חזקות הוא בדיוק תחום ההתכנסות שלו?
+
מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?
  
−
תומר - לחזור על נוסח המשפטים !!!
+
מצטרף!!
 +
 
 +
תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות .
 +
יש חדש?
 +
 
 +
==שאלה==
 +
אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.
 +
התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
  
−
ארז - במילים אחרות - לא :)
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אם הוא מתכנס (אפילו בתנאי) בR הוא מתכנס במידה שווה בקטה הפתוח (R,-R)
+
לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.
 +
:השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
  
−
אם הוא מתבדר בR הוא לא מתכנס במידה שווה בקטע הפתוח (R,-R)
+
::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
 +
:::כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)
  
−
בכל מקרה לכל 0<R>r הוא מתכנס במידה שווה בקטע הסגור [r,r-]
+
אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא  אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?
 +
:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
  
−
:אני לא חושב שזה נכון - בהרצאה למדנו שאם הטור מתכנס ב-x=R אז הטור מתכנס במ"ש ב-[R,0] , וכך גם עבור x=-R , אז בסה"כ מקבלים שתחום ההתכנסות במ"ש תמיד שווה לתחום ההתכנסות (אלא אם R=0 ואז יש רק התכנסות נקודתית)
+
::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
  
−
ברור שאם הוא מתכנס בR אתה צודק, אבל מה אם הוא לא...?
+
:::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
לא הבנתי משהו. כתוב לי במחברת שהטור פונקציות x^k מ1 עד אינסוף, בקטע (1,1-) פונ' הגבול שלו רציפה: x/1-x וגם כל x^k רציפות, אבל ההתכנסות אינה במ"ש. השאלה שלי היא למה? הרי הסכום הN של הטור, הוא מ1 עד N, וSn זה סכום סדרה אינסופית מתכנסת Sn=a1/1-q. ואז Sn-S=0 ואז זה בסדר. איפה הטעות שלי?
+
מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
−
עריכה: לא משנה. זה כי הנוסחא S=a1/1-q עובדת רק על סדרה הנדסית *אינסופית*...
+
 
 +
===תשובה===
 +
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
 +
 
 +
אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?
+
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
−
ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?
+
  
−
יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???
+
===תשובה===
 +
כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
  
−
שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.
+
== :)==
 +
שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
  
 +
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
 +
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
 +
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
  
−
למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f  חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???
+
==לארז ולתומר==
−
תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :)
+
רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה  ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
−
לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .
+
−
אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .
+
−
לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .
+
  
−
תודה.:נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...
 
  
 +
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
 +
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
 +
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
  
−
למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g  ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??
+
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
 +
 
 +
 
 +
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
 +
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר...  לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
 +
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
 +
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 
 +
 
 +
===תשובה===
 +
אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים
 +
* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
 +
 
 +
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
 +
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
 +
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
 +
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
 +
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
 +
 
 +
 
 +
מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!
 +
:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
 +
::מתי יעלו ציוני תרגיל?
 +
 
 +
:::אנחנו נעלה אותם היום
 +
==יש לי שאלה==
 +
האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס
 +
(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
 +
 
 +
===תשובה===
 +
כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
 +
 
 +
==שאלה==
 +
 
 +
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S
 +
 
 +
:זו שאלה פילוסופית?
 +
 
 +
==הודעה==
 +
 
 +
יש ציונים!!
 +
== מבחן ==
 +
היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?
 +
 
 +
מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא
 +
בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
 +
 
 +
:תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.

גרסה אחרונה מ־11:47, 1 בספטמבר 2010

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

ארכיון 14 - תרגיל 10

ארכיון 15 - תרגיל 10

ארכיון 16 - לקראת המבחן

ארכיון 17 - לקראת המבחן

שאלות

שאלה

יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?

לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא

תומר - מה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ??? הגיון חבר"ה , הגיון !

שאלה

תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות? תודה

תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך . ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.

שאלה

נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI?

  • נקודתית זה ברור מאינפי 1. לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט.

ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש?

  • ברור שלא.... אינפי 1. fn=(-1)^n לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.

יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים???

  • נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/מינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3).

שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה משנה כי במקרה של פונקציה איזוגית-למשל x באפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?)תודה.

  • הוא מוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר.


למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה???

תשובה

תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם . או - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! .

אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף . זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .

לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס .

שאלה מסודרת

נתונה פונקציה fרציפה,מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להוכיח שזה מתכנס עם שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (f(x)/x)/x^2 שווה לאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, כי האינטגרל של x^2 מתכנס...

תשובה

(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2).

אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!
הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי.

ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה:

נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [1,1+T] כך ש- (f(x0 שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת.

ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם האינטגרל הלא אמיתי של F.

ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x

שאלה

למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0<g ו f>g והאינטגרל של f מתכנס(לא אמיתי, בשנ הסוגים הוא אמר ככה...) אז האינטגרל של g מתכנס. הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f מתבדר,זה לא נכון??

תשובה

המשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.

שאלה

בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?

[לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1

שאלה

אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?

הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי?

שאלה

נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע. יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)? מהי הדרך?

הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה)

אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית?

תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ...

(לא ארז/תומר) כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות. f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את התנאי השני. בקשר אליו, קל להראות ש

w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן קל להמשיך.

מראים את זה כך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים: f(x1)^2-f(x2)^2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור

שאלה

התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של fn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם הפונקציה x^n(x^n-1) qq מקיימת את הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני לא טועה, 1/n פחות 1/(2n+1)..

תשובה

אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא שואף לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של הפונקציות הקבועות \frac{1}{n}).

אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס \frac{1}{n} בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו שואפת לאפס (כמובן שלא במ"ש) והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.

שאלה

נראית נחמדה. f:[0,1] ---> R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(x)<=sinx לכל x בתחום. צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)-1=0. (קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.) מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא קיימים עוד פתרונות/למצוא פתרון נוסף. ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?

מישהו??


אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס

שאלה

מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? תודה.

כדאי? תמיד. מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.

שאלות מעניינות

  • הוכח או הפרך:

תהי f_n(x) סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה f, אשר גם גזירה ברציפות,ב-[a,b]. אזי ש- f_n' \rightarrow f' במ"ש על הקטע [a,b].

  • בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x), כך ש-a_n(x)>0 והטור מתכנס ב-I.

מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש. נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :)

תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! .

שאלה

שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון:

int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity)

ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה

מצטרף לשאלה!! איך פותרים את הדבר הזה?


(לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים

תודה רבה :)

זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף

אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני.
אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...
עכשיו בקשר לאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/x^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0,1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ).
(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס.

ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע...

האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.
תודה לשניכם :)

שאלות.

  • arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..
  • במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..
  • כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות..
  • בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם?

וזהו, תודה רבה!

תשובה

  • כן הוא חיובי.
  • אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל
  • נכון.
  • נכון
כן, אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..
לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי
כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1] אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת..
כי ln שלילית בקטע הזה.
אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית?
נכון

שאלה

התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?

כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט

שאלה

  • הסתבכתי,אפשר עזרה?
  • נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם ורק אם הסכום הנל(f^n) מתכנס נקודתית בקטע זה.


השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?

תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x)

שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות?
(לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x נקבל f(x<1 (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא היה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc,d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של x המתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך).


אבל למה f(x) בערך מוחלט קטן מ-1?

הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.

תשובה

אה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.

הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר |f(x)|<1, והוא מתכנס במ"ש כאשר |f(x)|<r<1 אבל בגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.


  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה |f(x)|<r<1 כל שצריך הוא מבחן הM

|f(x)^n|<r^n.

  • על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי |f(x)|<1 כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור \sum |f^n(x)|=\sum a^n כאשר |f(x)|=a<1 וזה כמובן מתכנס.
  • טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
  • על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה x_n כך ש f(x_n) \rightarrow 1 ולכן

\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty

(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי f(x_n)\rightarrow 1)

שאלה

אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע? וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf

תשובה

הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן])


לגבי השאלה השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17

אבל אתה יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה f(0)=0 f(x)=exp(-1/x^2) s היא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (הוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס) מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה?


אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (ראה את ההשלמה). במקרים אחרים (כמו זה שתארת) אסור סתם להניח שיהיה שיוויון.

כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילור מה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (במקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)

כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...

סבבה תודה רבה

שאלה

המבחן ב15:30 נכון? כמה זמן הוא יארך???

כן, שעתיים

שאלה

למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?

אתה מתכוון ל\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}? תקח את השורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי \sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty)

התכנסות אינטגרלים

האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???

  • \int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta.
  • \int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}
  • \int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr.

האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש- \int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2, ואז עפ"י השוואה???


תשובה

לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר)

בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם \frac{1}{1-x}

שאלה

נתונה פונקציה f(x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M.

צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה גורר ש-f^2 אינטגרבילית.

חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני


אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f?

(לא ארז/תומר) ענו כבר על השאלה הזאת... לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי.
הנה ההוכחה- יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון.

תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? ...

שאלה

צריך להוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x)= sum from 0 to infinity of (e^-nx)* cos(nx) s

בכל קטע (a, infinity] כאשר a>0

ניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי. מישהו? אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?

(לא ארז/תומר) אני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...

עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שזה קטע פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?

תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם ההתכנסות היא במ"ש על כל תת קטע סגור וסופי אז יוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.

תרגיל 11

מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי. 

ארכיון 16...

שאלה

מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי?

מצטרף!!

תומר - יפורסם בשעות הקרובות . אני עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(!) . סבלנות . 

יש חדש?

שאלה

אוקי, נניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"ש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1]. קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש. התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-. מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?


תשובה

לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. הרי ברור שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא. השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים.

השאלה היא כזו - הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"ש גם ב[0,1]. זה נכון?
הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש התכנסות באפס אז כן, אם לא אז לא
כן, מדובר על קטעים סגורים. תודה:)

אני טועה או שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה.....?

זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא בטוח איך זה קשור פה.
יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות??? ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב???
לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.

שאלה

מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....

תשובה

נניח ויש לך טור מתכנס g=\sum f_n. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי g' = \sum f_n'. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.

אינטגרציה זה דומה \int g = \sum \int f_n

שאלה

אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?

תשובה

כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.

:)

שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)

תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)

תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
ושיהיה בהצלחה לכולם!

לארז ולתומר

רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!


מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...

מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..

מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)

תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)


אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P= אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)...  כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך. כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם! תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו 

תשובה

אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים

  • הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ולא להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
  • שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
    • שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
    • שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
    • יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
    • שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...


מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!

זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
מתי יעלו ציוני תרגיל?
אנחנו נעלה אותם היום

יש לי שאלה

האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס (הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?

תשובה

כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)

שאלה

למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S

זו שאלה פילוסופית?

הודעה

יש ציונים!!

מבחן

היה פקטור במבחן? ואם כן של כמה?

מצטרף לשאלה... מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לא בקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...

תשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אינפי_2_לתיכוניסטים_תש%22ע_-_שאלות_ותשובות&oldid=5877