הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

גרסה אחרונה מ־12:32, 3 בנובמבר 2016

שאלה 1

לכל קבוצה $E\subseteq\R$ ומספרים $a,b\in\R$ מגדירים $aE+b:=\{ax+b:x\in E\}$ (ז"א $aE+b$ היא תמונת $E$ תחת הפונקציה הלינארית $x\mapsto ax+b$ ).

הוכיחו: $m^*(aE+b)=|a|m^*(E)$

שאלה 2

הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- $\R$ הנה מדידה לבג.

הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה $G\subseteq\R$ היא מטיפוס $G_\delta$ אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי $E\subseteq\R$ הוכיחו שקיימת קבוצה $G\in G_\delta$ המקיימת $E\subseteq G$ וכן $m^*(G)=m^*(E)$

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה $E\subseteq\R$ ולכל $\varepsilon>0$ קיימת קבוצה פתוחה $O$ , המקיימת $E\subseteq O$ וכן $m^*(O)\le m^*(E)+\varepsilon$

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

בהצלחה!

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== שאלה 1 ==
+==שאלה 1==
-לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).
+לכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ומספרים <math>a,b\in\R</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ax+b:x\in E\}</math> (ז"א <math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x\mapsto ax+b</math>).
-הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
+הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a|m^*(E)</math>
-== שאלה 2 ==
-הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב <math>\mathbb{R}</math> הינה מדידה לבג.
-== שאלה 3 ==
+==שאלה 2==
-'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
+הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- <math>\R</math> הנה מדידה לבג.
+הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.
-תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
+==שאלה 3==
+'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G\subseteq\R</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
+תהי <math>E\subseteq\R</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G\in G_\delta</math> המקיימת <math>E\subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
 '''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:
-א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן
+א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math> , המקיימת <math>E\subseteq O</math> וכן
-<math>m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon</math>
+<math>m^*(O)\le m^*(E)+\varepsilon</math>
 ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

הבדלים בין גרסאות בדף "88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1"

גרסה אחרונה מ־12:32, 3 בנובמבר 2016

שאלה 1

שאלה 2

שאלה 3

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים