הבדלים בין גרסאות בדף "שיחה:88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעד מדמח"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה?)
(←‏גבול פונקציה)
 
(35 גרסאות ביניים של 5 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 57: שורה 57:
  
 
האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע  (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?
 
האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע  (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?
 +
 +
:לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
  
 
== מדוע <math>0.99999...=1</math> ==
 
== מדוע <math>0.99999...=1</math> ==
  
 
זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
 
זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.
 +
:עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר <math>0.999...</math>.
 +
:המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה <math>0.999...=0.9+0.009+0.0009+...</math>
 +
:נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
 +
:ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
 +
:נסמן <math>x=0.999...</math>, לכן מתקיים <math>10x=9.999...</math>
 +
:לכן מתקיים <math>10x-x=9</math>
 +
:כלומר <math>9x=9</math>
 +
:כלומר <math>x=1</math>.
 +
 +
:המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
 +
:--<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font> 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)
 +
 +
== שאלה בחסמים ==
 +
 +
תהי <math>A\subseteq R</math> ונתון ש- <math>0\notin A</math>.
 +
 +
מגדירים את הקבוצה: <math>A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{  \right \} </math>.
 +
 +
הוכח/הפרך:  אם A חסומה מלעיל, אז <math>A^{-1} </math> חסומה מלעיל.
 +
 +
לדעתי הטענה לא נכונה.
 +
 +
למשל עבור <math>A=(0,1)</math> מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל <math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל.
 +
 +
האינטואיציה היא שבגלל ש-<math>A^{-1}</math> מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה
 +
 +
<math>A^{-1}</math>, לא תיהיה חסומה מלעיל.
 +
 +
השאלה שלי היא '''כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת'''.
 +
 +
בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-<math>A^{-1}</math> לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:
 +
 +
'''<math>\forall M\exists a\in A^{-1}:a>M</math>'''. שזו בעצם '''השלילה''' של קיום חסם מלעיל.
 +
 +
איך אני מראה את זה???
 +
 +
:השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
 +
:אז רק צריך להראות ש <math>\frac{1}{M+1}\in A^{-1}</math> --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
'''מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך  =\'''
 +
 +
== משמעות הביטוי הבא ==
 +
 +
היי,
 +
שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?
 +
:כן --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
== בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה ==
 +
 +
 +
האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?
 +
 +
:אם היא מקיימת את תנאיי השאלה, אך לא את המסקנה, היא אכן מהווה דוגמא נגדית. --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
==הוכחה שגבול של סדרה הוא אינסוף באמצעות הגדרת הגבול.==
 +
לפי הגדרת גבול של סדרה <math>|an - l| = epsilon</math> לצורך העניין <math>an=n^2/(n+1)</math> השאלה היא איך אני ממשיך מכאן..
 +
כשהגבול הוא מספר, אז זה ברור - מציבים במקום L ופותרים.. אבל כשהגבול הוא אינסופי לא ניתן לחשב..
 +
הבנתי שצריך לבחור אפסילון כלשהו וליצור אי שיוויון, אבל לא הבנתי בדיוק איך עושים זאת ?
 +
אשמח להכוונה,
 +
תודה
 +
 +
:הגדרת הגבול לאינסוף היא הגדרה אחרת. התכנסות זו נקראת "התכנסות במובן הרחב". ניתן לקרוא על זה [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/גבול#התכנסות במובן הרחב|כאן]] --<font size='4'>[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]]</font>
 +
 +
== תרגיל 3 שאלה 1 ==
 +
 +
איך מוכיחים שמספר אינו גבול של סדרה?
 +
 +
מניחים בשלילה שהוא כן הגבול, ומוצאים אפסילון>0
 +
שעבורו לא מתקיימת הגדרת הגבול. סתירה.
 +
 +
- אופיר.
 +
 +
== שאלה בנוגע לגבולות חלקיים. ==
 +
 +
אם אני מפרק סדרה לתתי סדרות מתכנסות אשר איחודן מהווה את כל איברי הסדרה.
 +
האם אני יכול להניח שהגבולות של התתי סדרות האלה הינם הגבולות החלקיים
 +
*היחידים* של הסדרה?
 +
 +
== תרגיל 6 שאלה 2 ==
 +
 +
לא הבנתי את ניסוח השאלה ״מה ניתן להגיד על התכנסות הטורים?״
 +
האם הכוונה היא לכל אחד מהם בנפרד? או לשניהם ביחד?
 +
האם תיתכן תשובה כגון ״לפחות אחד מהם מתכנס\מתבדר?״
 +
 +
== גבול פונקציה ==
 +
 +
שאלה:  מה הגבול כאשר x שואף לאינסוף של:
 +
<math>lim xsin 1/x</math>
 +
 +
אז התשובה היא 1 (כשמציבים T=1/X אבל אני לא מבין למה זה לא אינסוף ?
 +
כי יש שם את X שהיא סדרה ששואפת לאינסוף וזה כפול סינוס (משהו) שהיא סדרה חסומה, אז אינסוף כפול חסום לא אמור להיות אינסוף ??
 +
 +
לא נכון
 +
אפס (שזה עדיין חסום) כפול אינסוף אינו מוגדר.

גרסה אחרונה מ־07:16, 23 בינואר 2014

חזרה לדף הקורס


גלול לתחתית העמוד


הוספת שאלה חדשה

הוסף שאלה חדשה (רשום כותרת לשאלה, רשום את תוכן השאלה ולחץ על שמירה למטה מימין לסיום).

-עזרה על עיצוב הטקסט וכתיב מתמטי תוכלו למצוא כאן

אם אתם רוצים לשאול שאלה עליכם ליצור חשבון משתמש באתר.

שאלות

שתיי שאלות בנושא חסמים

1. מה צריך לקיים חסם עליון של קבוצה, שהוא גם המקסימום של הקבוצה?

2. נניח שנתונה הקבוצה הבאה: 

 zz A={2,3,5,8} zz

החסם העליון שלה הוא 8.

אבל משהו כאן לא ברור לי.

ע"פ הגדרת החסם העליון מתקיים ש-8 חסם מלעיל של A (עם הדרישה הזו אין לי בעיה).

אבל צריכה להתקיים דרישה נוספת, שאיתה דווקא יש בעיה...

הדרישה אומרת שלכל e>0 קיים איבר a ב-A כך ש-a > 8-e.

אבל עבור e=0.1 למשל, (ועבור אפסילונים רבים אחרים), לא קיים איבר a ב-A כך ש- a>8-e.

אם כך, הדרישה השנייה של קיום חסם עליון, אינה מתקיימת. מדוע אז 8 הוא בכל זאת חסם עליון?


על מנת להיות מקסימום, האיבר צריך להיות שייך לקבוצה. לגבי הדוגמא שנתת, בוודאי שיש איבר a כזה. שכחת את 8 בעצמו! הרי
\forall \epsilon>0:8>8-\epsilon
--ארז שיינר 21:31, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

איך מוכיחים שהמקסימום של קבוצה הוא הסופרימום של הקבוצה?

תודה

הוכחה: נניח M הוא המקסימום של הקבוצה A, לכן ברור שהוא חסם עליון.
נותר להוכיח, אם כן, שאין חסם עליון קטן יותר מM.
נניח בשלילה שיש חסם עליון כזה N שקטן ממש מM.
כיוון שM מקסימום, הוא שייך לקבוצה.
לכן, יש איבר בקבוצה (M בעצמו) שגדול יותר מN בסתירה לכך שN הוא חסם מלעיל.
--ארז שיינר 21:32, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

שאלה לגבי תרגיל שמופיע באתר

אומנם מופיע גם הפתרון..אבל יש שם כמה דברים שלא מובנים לי..

השאלה הולכת כך:

יהיו קבוצות A,B מוכלות בממשיים. כל איבר ב-A קטן או שווה לכל איבר ב-B.

צריך להוכיח ש-supA<=infB.

האמת שזה די אינטואיטיבי..במיוחד אם מסתכלים על שניי תת-קטעים A , B , על הציר הממשי, שמקיימים את הנתון שכל איבר ב-A קטן שווה לכל אביר ב-B.

בסדר..מניחים בשלילה ש-supA>infB

האם נכון לומר, שמההנחה בשלילה אפשר להסיק שיש קטע (infB,supA), כך שכל איבר בקטע שייך גם לקבוצה A וגם לקבוצה B?

לא. אין דרישה שקבוצה תכיל את כל המספרים הממשיים בקטע מסויים. קבוצות יכולות להיות אפילו סופיות. --ארז שיינר 21:34, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

מדוע 0.99999...=1

זה הוזכר גם בהרצאה וגם בתרגול ולא מובן לי בכלל למה זה נכון.

עיקר הבעייה היא שלא למדתם כלל את הגדרת הממשיים, ולכן גם לא את הגדרת המספר 0.999....
המספר אינו מוגדר על ידי הספרות שלו, אלא על ידי סכום אינסופי מהצורה 0.999...=0.9+0.009+0.0009+...
נראה הגדרת סכום אינסופי שכזה בהמשך הקורס.
ובכל זאת, על מנת להבין מדוע מספרים אלה שווים, אפשר לראות את ההסבר הבא:
נסמן x=0.999..., לכן מתקיים 10x=9.999...
לכן מתקיים 10x-x=9
כלומר 9x=9
כלומר x=1.
המסקנה היא שגם לפי חוקי המתמטיקה שאתם מכירים על מספרים ממשיים, יוצא שזה אותו המספר. כאמור, אני מקווה שנבין את המספרים הממשיים טוב יותר במהלך הסמסטר.
--ארז שיינר 21:39, 23 באוקטובר 2013 (IDT)

שאלה בחסמים

תהי A\subseteq R ונתון ש- 0\notin A.

מגדירים את הקבוצה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A^{-1}=\left \{{1/a|a\in A}}{ \right \} .

הוכח/הפרך: אם A חסומה מלעיל, אז A^{-1} חסומה מלעיל.

לדעתי הטענה לא נכונה.

למשל עבור A=(0,1) מתקיים ש-A חסומה מלעיל (למשל ע"י 3), אבל A^{-1} לא חסומה מלעיל.

האינטואיציה היא שבגלל ש-A^{-1} מוגדרת להיות 1 חלקי איברי A, אז עבור איברי A שקרובים ל-0, השבר מתהפך והקבוצה

A^{-1}, לא תיהיה חסומה מלעיל.

השאלה שלי היא כיצד אני מוכיח את זה בצורה מדוייקת.

בעצם מה שאני רוצה להראות, זה ש-A^{-1} לא חסומה מלעיל. כלומר להראות שמתקיימת הטענה הבאה:

\forall M\exists a\in A^{-1}:a>M. שזו בעצם השלילה של קיום חסם מלעיל.

איך אני מראה את זה???

השורה האחרונה שלך נכונה. אתה צריך להראות שלכל מספר M קיים איבר בקבוצה שגדול ממנו. איברים בקבוצה הזו הם מהצורה של אחד חלקי איברים מהקטע בין אפס לאחד.
אז רק צריך להראות ש \frac{1}{M+1}\in A^{-1} --ארז שיינר

מה נסגר עם הנוסחאות??????????????? אני לא מצליח לראות מה אני כותב. לא הבנתי גם מה אתה כתבת כי הנוסחה לא מופיעה כמו שצריך =\

משמעות הביטוי הבא

היי, שאלה , האם כדי להפריך טענה מסויימת מספיק לתת דוגמא נגדית ? ספציפית? כלומר לבחור 2 קבוצות עם מספרים שלא מקיימים את הטענה ?

כן --ארז שיינר

בתרגיל 3 שאלה 2 סעיף ג' יש לי תהיה

האם הסדרה an=0 סותררת את ההנחה מכיוון ש an אינו גדול ממש מ0 לכל n באשר הוא?

אם היא מקיימת את תנאיי השאלה, אך לא את המסקנה, היא אכן מהווה דוגמא נגדית. --ארז שיינר

הוכחה שגבול של סדרה הוא אינסוף באמצעות הגדרת הגבול.

לפי הגדרת גבול של סדרה |an - l| = epsilon לצורך העניין an=n^2/(n+1) השאלה היא איך אני ממשיך מכאן.. כשהגבול הוא מספר, אז זה ברור - מציבים במקום L ופותרים.. אבל כשהגבול הוא אינסופי לא ניתן לחשב.. הבנתי שצריך לבחור אפסילון כלשהו וליצור אי שיוויון, אבל לא הבנתי בדיוק איך עושים זאת ? אשמח להכוונה, תודה

הגדרת הגבול לאינסוף היא הגדרה אחרת. התכנסות זו נקראת "התכנסות במובן הרחב". ניתן לקרוא על זה כאן --ארז שיינר

תרגיל 3 שאלה 1

איך מוכיחים שמספר אינו גבול של סדרה?

מניחים בשלילה שהוא כן הגבול, ומוצאים אפסילון>0 שעבורו לא מתקיימת הגדרת הגבול. סתירה.

- אופיר.

שאלה בנוגע לגבולות חלקיים.

אם אני מפרק סדרה לתתי סדרות מתכנסות אשר איחודן מהווה את כל איברי הסדרה. האם אני יכול להניח שהגבולות של התתי סדרות האלה הינם הגבולות החלקיים

  • היחידים* של הסדרה?

תרגיל 6 שאלה 2

לא הבנתי את ניסוח השאלה ״מה ניתן להגיד על התכנסות הטורים?״ האם הכוונה היא לכל אחד מהם בנפרד? או לשניהם ביחד? האם תיתכן תשובה כגון ״לפחות אחד מהם מתכנס\מתבדר?״

גבול פונקציה

שאלה: מה הגבול כאשר x שואף לאינסוף של: lim xsin 1/x

אז התשובה היא 1 (כשמציבים T=1/X אבל אני לא מבין למה זה לא אינסוף ? כי יש שם את X שהיא סדרה ששואפת לאינסוף וזה כפול סינוס (משהו) שהיא סדרה חסומה, אז אינסוף כפול חסום לא אמור להיות אינסוף ??

לא נכון אפס (שזה עדיין חסום) כפול אינסוף אינו מוגדר.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=שיחה:88-132_אינפי_1_סמסטר_א%27_תשעד_מדמח&oldid=39855